1671各种积分间的联系1672曲线积分和路径的无关性1673场论初步

1671各种积分间的联系1672曲线积分和路径的无关性1673场论初步内容摘要：

 DyxyPxQ dd LyyxQxyxP d),(d),( Lxx yyxyy d)1c o se(d)si ne(① ② ③ ④ 练习 2 求星形线 tytxL 33 si n,c o s ： 所界图形的面积。 解 DyxA ddLyxd  2π0 64 d]co s[ co s12 ttt π20 24 ds i ncos3 t tt8322143652214312   y x O D L 1 1 1 1   DyxyPxQ dd重要意义： 建立了 二重积分 与 曲线积分 的一种等式关系 揭示了 函数在区域 内部 与 边界 之间的内在联系 突破 右手系的限制，使它的 应用 ，可以 导出 数学物理中的 许多重要公式 更加广泛 ，而这只需要改变边界的正向定义即可。 设空间区域 G, 如果 G内任一闭曲面所围成的区域全属于 G, 则称 G是空间二维单连通域。 如果 G内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面 , 则称 G为空间一维单连通区域 . G G G 一维单连通 二维单连通 一维单连通 二维不连通 一维不连通 二维单连通 二 高斯公式 设空间闭区域  由分片光滑的闭曲面Σ围成 , 函数 ),( zyxP 、 ),( zyxQ 、 ),( zyxR 在  上具有 一阶连续偏导数 , 则有公式 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)( dSRQPdvzRyQxP)c o sc o sc o s()(或高斯公式 这里  是  的整个边界曲面的外侧， cos,cos,cos 是  上点 ),( zyx 处的法向 量的方向余弦 . 证明 设闭区域  在面 xoy 上的投影区域为 xyD . xyzo 由 1 , 2 和 3 三部分组成 , ),(1:1 yxzz ),(2:2 yxzz 3123xyD根据三重积分的计算法 d x d ydzzRdvzRxyDyxzyxz    }{ ),(),(21.)]},(,[)],(,[{ 12 xyDd x d yyxzyxRyxzyxR根据曲面积分的计算法 ,)],(,[),( 11  xyDd x d yyxzyxRd x d yzyxR( 1 取下侧 , 2 取上侧 , 3 取外侧 ) ,)],(,[),( 22  xyDd x d yyxzyxRd x d yzyxR,)]},(,[)],(,[{ 12 xyDd x d yyxzyxRyxzyxRdxdyzyxR ),(于是.0),(3d x d yzyxR.),( dx d yzyxRdvzR,),( dy dzzyxPdvxP同理 ,),( dz dxzyxQdvyQ高斯公式 和并以上三式得：  R d x d yQ d z d xP d y d zdvzRyQxP )(Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系 . .)c o sc o sc o s()(。