第4讲等价关系与集合的分类

第4讲等价关系与集合的分类内容摘要：

的一个二元关系 R 能否给 A 确定一个分类，即由规则： a 与 b 分在同一个子集 aRb 能否得到 A 的满足分类条件的彝族子集。 我们可先看看上述的例子。 对于 ba4: 11 baRR 可知 1R 能将 Z 分类： },{ 32101 AAAA . 对于 同秩与 babaRR 22 : ，可知 2R 能将 )(2 RM 分类： },{ 2102 AAA . 对于 babaRR 33 : ， 3R 不能将 Z 分类，因为 2323 与 同在一类，即 32与 在同一类 32 ，这是不可能的 . b: 44 abaRR  ， 4R 不能将 Z 分类。 因为 4242 与 在同一类，但 4不能整除 242 与 不在同一类，导出矛盾 . 1),(: 45  babaRR ， 5R 不能将 Z 分类。 因 621)6,2( 与 在同一类，361)3,6( 与 在同一类，但 321)3,2( 与 不在同一类，这是不可能的。 上述的例子分析可知：不是用 A 的任何一个二元关系都能给 A 确定一个分类；也就是说，能够给集合 A 确定分类的二元关系是需要具有特殊性质才行。 为此，我们必须研究下列特殊的二元关系。 定义 设 ～ 是集合 A 上的二元关系，如果 ～具有以下三种性质： （ 1） 反射律（反身性）： aAa , ～ a （ 2） 对称律（对称性）： , Aba  当 a ～ b 时必有 b ～ a ； （ 3） 推移律（传递性）： , Acba  当 a ～ b 且 b ～ c 时， 必有 a ～ c。 那么关系～叫做 A 上的等价关系。 并且当 a ～ b 时，习惯称 a 与 b 等价。 从上述例子中可知： 1R 和 2R 都是等价关系，而 3R （不满足反身性）、 4R （不满足对称性）和 5R （不满足传递性）都不是等价关系。 我们已经知道，不是等价关系的关系不可能作为分类的手段，而等价关系的重要意义正是在于它是造成分类的一般准则。 下面讨论等价关系与集合的分类之间内在联系的重要事实 . 定理 1：集合 A 的每个分类都决定了 A 的一个等价关系。 证明：设 }{ IiAAi  是 A 的一个分类，用  我们可以规定 A 上的一个二元关系： a ～ bab 与 在同一类里，显然～是 A 的一个关系，须证～是等价关系。 （ 1） 反身性： aAaaAaIiAa ii  中同在与故使则有 , ～ a。 （ 2） 对称性： , Aba  若 a ～ bAabAbaIib ii  中在与当然中同在与使则有 , ～ a . （ 3）传递性： , Acba  若 a ～ bb, ～ c ， , jiji AAbAcbAbaIji  同在与中同在与使故存在 aAcaAA iji  ,同在与由分类的特性知 ～ c。 定理 集合 A 的任一个等价关系～都可确定 A 的一个分类。 证明： ,Aa ，令 xAxa {][ ～ }a ，如此确定的这些子集具有： （ 1） ][a ：由 a ～ ][aaa  ； （ 2） ][][ ba  ，当 a 与 b 不等价时：若 xbax  ][][  ～ xa, ～ b ，由～的对称性和传递性知 a ～。