浅谈求函数极限的方法(编辑修改稿)

浅谈求函数极限的方法(编辑修改稿)内容摘要：

(1)   )()()()( limlimlimxgxfxgxf xxxxx   (2)   )()()()( li mli mli m000xgxfxgxf xxxxxx   (3)又若 0)(lim0 xgxx ，则 )()(xgxf 在 0xx 时也存在，且有 )()()()( limlimlim000 xgxfxgxfxxxxxx 利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如  、 00 等情况，都不能直接用四则运算法则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握因式分解、有理化运算等恒等变形。 例 ：求2422lim  xxx 解：原式 =      022 22 l i ml i m 22     xx xx xx 例 3． 2： 求 4 53lim 22  xxxx 解 : 4 53lim 22  xxxx = 2542 5232 2   6 6 6 洛比达法则一般被用来求 00 型不定式极限及  型不定式极限．用此种方法求极限要求在点 0x 的空心邻域  0 0Ux内两者都可导，且作分母的函数的导数不为零． 例 求极限21 coslim tanx xx  解： 由于   2li m 1 c o s li m t a n 0xxxx  ，且有  1 cos 39。 sinxx  ，  22ta n 39。 2 ta n s e c 0x x x， 由洛比达法则可得 : 21 coslim tanx xx  2sinlim 2 tan secx xxx  3coslim2x x   12 例 求极限3limxxex 解： 由于 3lim limxxxex     ，并有  39。 xxee ，  3239。 3 0xx， 由洛比达法则可得： 32lim lim 3xxxxee ， 由于函数   xf x e ，   23g x x 均满足洛比达法则的条件，所以再次利用洛比达法则： 32l im l im l im l im3 6 6x x x xx x x xe e e ex x x                注 1 如果   039。 lim 39。 xxfxgx仍是 00 型不定式极限或  型不定式极限，只要有可能，我们可再次用洛比达法则，即考察极限   039。 lim 39。 xxfxgx是否存在，这时 39。 fx和 39。 gx在 0x 的某邻域内必须满足洛比达法则的条件． 注 2 若   039。 lim 39。 xxfxgx不存在，并不 能说明   0limxxfxgx不存在． 7 7 7 注 3 不能对任何比式极限都按洛比达法则求解，首先必须注意它是不是不定式极限，其次是否满足洛比达法则的其他条件．比如这个简单的极限 sinlim 1xxxx 虽然是  型，但若不顾条件随便使用洛比达法则 s in 1 c o slim lim 1xxx x xx    ，就会因右式的极限不存在而推出原极限不存在的错误结论。 ①利用 1sinlim0  xxx来求极限 1sinlim0  xxx 的扩展形为： 令   0xg ，当 0xx 或 x 时，则有    1sinlim0 xg xgxx 或    1sinlim  xg xgx 例 ：xxx   sinlim 解：令 t= x .则 sinx=sin(  t)=sint, 且当 x 时 0t 故 1s ins in limlim0   ttxxtx  例 ：求  1 1sin 21lim   xxx 解：原式 =            21 1s i n111 1s i n1 22121 l i ml i m   xxxxx xxxx ②利用 exx  )11(lim来求极限 exx  )11(lim 的另一种形式为 e   10 )1(lim .事实上，令 .1x x .0所以 xx xe )11(lim e 10 )1(lim 例 : 求 xx x10 )21(lim 的极限 8 8 8 解：原式 = 221210 )21()21(lim exxxxx   利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运 用此方法来求极限。 一般常用的方法是换元法和配指数法。 对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便，下列为常用的展开式： )(!!21 2 nnx xonxxxe   )()!12()1(!5!3s i n 212153。