磁悬浮球装置的控制算法研究毕业设计(编辑修改稿)

磁悬浮球装置的控制算法研究毕业设计(编辑修改稿)内容摘要：

球的气隙，单位： m； m— 小球的质量，单位： Kg； F(i， x)— 电磁力，单位： N。 g— 重力加速度，单位： m/2s 当小球处于平衡状态，其加速度为零，即所受合力为零，小球的重力等于小xxxx 大学本科毕业设计（论文） 8 球受到的向上的电磁力，即： 20200( , ) ( )im g F i x K x （ ） 二、电磁铁中控制电压与电流的模型 电磁铁绕组上的瞬时电感与气隙间的关系如图 所示。 图 电磁铁电感曲线 电磁铁通电后所产生的电感与小球到磁极面积的气隙有如下关系： 01()1LL x L xa （ ) 由式 ()可知： 1 1 0()L L x L L   () 又因为 01 LL 故有： 1 ()L Lx () 根据基尔霍夫电压定律有： 0[ ( )]( ) ( )[ ( ) ( )]()[ ( )]()dtU t R i tdtd L x i tR i tdtd i tR i tdt () 式中 : 1L — 为线圈自身的电感，单位 H 0L — 为平衡点处的电感，单位 H x — 小球到磁极面积的气隙，单位 m i — 电磁铁中通过的瞬时电流，单位 A xxxx 大学本科毕业设计（论文） 9 R— 电磁铁的等效电阻，单位Ω 三、电流控制模型 在磁悬浮系统中，对电磁力采用两种控制策略：电流控制控制方式和电压控制方式。 建立系统模型就是分析执行机构，根据物理规律，运用数学方法将其规律准确表达。 根据电磁场能量公式可得： 21( , ) ( )2W i x i L x () 将式 ()代入式 ()并取偏导得到电磁力表达式如下： 20239。 39。 2 (1 )LiWmx xx aa    () 假设钢球 重力方向为正方向，根据受力平衡有： 39。 39。 mx F mg () 将式 ()代入式 ()得： 20239。 39。 2 (1 )Lim x m g xaa  () 假设钢球在平衡位置时 x＝ X， i＝ I，则有如下关系成立： 220022( , )2 ( 1 ) 2 ( 1 )L i L Im g F I YxXaaaa   () 由式 ()可以看出，对于给定的电流，钢球的悬浮位置 X也 为一确定值，整理式 ()可得偏置电流： 02(1 )X mgaI aL () 已知 x＝ ， I＝ 将电磁力方程在平衡位置处泰勒展开，略去高阶项得到线性化方程如下 ( , ) ( , )( , ) ( , ) F I x F i XF i x F I X x ixi       () 其中， ,i i I x x X      () 将电磁力方程式 ()代入式 ()可得： xxxx 大学本科毕业设计（论文） 10 2 2 20 0 02 3 2( , ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 ( 1 )L I L I L IF i x x iX X Ya a aa a a          () 从而有以下方程成立： 39。 39。 ( , )m x m g F i x     () 把式 ()代入式 ()得出线性化以后的方程： 22002 3 239。 39。 (1 ) 2 (1 )L I L Im x x iXXaaaa    () 根据平衡方程 ，可得到： 2202 (1 ) 1Xmga aLI  () 将式 ()代入式 ()得： 2239。 39。 39。 0ggx x xa X I      () 该式即为磁悬浮开环系统的电流控制模型。 将式 ()作拉氏变换，得： 2 22( ) ( ) ( ) 0ggs X s s I sa X I      () 整理得系统的开环传递函数： 2( ) 1() ()XsGs I s As B () 其中， 1,2IABg a X () 则有开环系统的特征方程为。 2 0As B () 那么开环极点为： Bs A () 可以看出系统必有一个开环极点位于复平面的右半平面，根据系统的稳定性判据，即系统的开环极点必须位于复平面的 左半平面时系统稳定，可知单自由度磁悬浮球系统的本质不稳定的。 xxxx 大学本科毕业设计（论文） 11 四、电压控制模型 由上节内容可知，电流模型的建立没有考虑感抗对系统的影响，只是从感性元件储能的角度加以分析建立。 因此为了准确分析磁悬浮系统，从另一方面分析电压控制模型也很有意义。 同样根据上节内容，即式 ()有 ),()(22 xiFmgdt txdm  () 电磁铁与刚体构成磁路，磁路的磁阻主要集中在两者气隙上，其中有效气隙磁阻可表示为 SxxR 02)(  () 式中， 0 为空气的导磁率，其中 mH /104 70   ； S为电磁铁的极面积；x为导轨与磁极表面的瞬时间隙。 由磁路的基尔霍夫定理可知 )(),( xRxiNi  () 式中， N为电磁铁线圈匝数， i为电磁绕组中的瞬时电流，为铁芯磁通。 将式 ()代入式 ()，可得到铁芯磁通为： 0( , ) 2SNiix x () 当电磁铁工作在非饱和状态时，电磁铁的磁链为： 20( , ) ( , ) 2SN ii x N i x x  () 另外，电磁力可由与它磁场同能量的关系表示为： ( , )( , ) cW i xF i x x  () 式中， (, )cWix 为磁能能量，并且 0( , ) ( , )tcW i x t x dt  () 将式 ()代入式 ()，再代入 ()，可得到电磁力为 2202 20()4( , ) ( )4SN i SN ixF i x xx  () xxxx 大学本科毕业设计（论文） 12 令 20 4SNk  ，则有 2( , ) ( )iF i x k x () 那么由式 ()可以得到，电磁吸引力 F与气隙 x成非线性的反比关系，这也是磁悬浮系统会不稳定的原因。 综上所诉，描述磁悬浮系统系统的方程可完全由下面方程确定。 22() ( , )d x tm m g F i xdt  动力方程 [ ( )]( ) ( ) d i tU t Ri t dt 电 学方程 2( , ) ( )iF i x k x 电学、力学方程 20200( , ) ( )im g F i x K x 边界方程 对电、力学关联方程线性化， 将电磁力 (, )Fix 在平衡点附近进行泰勒展开，并忽略高阶项得： 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 000( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( )( , ) ( ) ( )( , ) ( ) ( )ixixF i x F i x F i x i i F i x x xF i x k i i k x xF i x k i t k x t             () 式 ()中 00( , )Fi x 表示在平衡点处 (气隙为 0x 、电流为 0i )刚体的电磁力；系数 ik 表示电流变化单位量时电磁力变化的值， xk 表示气隙变化单位长度时电磁力变化值，则得到 2 2 20 0 0 02300,22ixS N i S N ikkxx   () 在电磁铁绕组中，电压 u的变化 u 为 0220 0 0 02220 0 02000( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )()2 ( ) 2 ( )()()2239。 39。 xu t u t u tN S d i i N Si t d x xR i i Rix t dt x t dtN S N Sid i t d xR i tx dt x dtR i L i L x                   () 式中 0L 表示平衡点的电感， xxxx 大学本科毕业设计（论文） 13 220000200,22xN S N SL L ixx () 那么，可以得到 039。 39。 ( ) 39。 39。 ixxm x k i k xu t R i L i L x          () 设系统状态变量为 1 2 3, 39。 , 39。 x x x x i x     ，则系统的状态空间方程ULxxxLRmxkimxkixxxX132112003030211000020201039。 39。 39。 39。 3 转化为传递函数形式： 1 2132 3 1 1 3/( ) ( ) kkG s C s I A B D s k s k s k k       () 其中： 2001 2 3320 0 122,k i k i Rk k km x m x L     式中： 0x — 小球平衡位置，单位： m 0i — 平很电流，单位： A 系统实际模型参数为： 2/105 8 ,1 1 8,13,2825001 ANmKAi mmxmHLRgm 那么，由此可得到系统的传递函数： 32 1 3 8 . 4 2() 1 1 0 . 1 7 1 2 6 4 . 5 1 3 9 3 1 0Gs s s s    () 磁悬浮系统实验对象的数学模型在 MATLAB 下的编程实现，变量 num、 den分别为开环传递函数的分子和分母系数， A、 B、 C、 D 为状态空间方程的响应矩阵。 数学模型求解函数如图 所示。 xxxx 大学本科毕业设计（论文） 14 图 M函数编辑窗口 第三节 磁悬浮球系统的搭建 MATLAB 是矩 阵试验室（ Mtrix Laboratory）的简称，是美国 MathWorks 的商业数学软件，用于算法开发、数。