本科毕业论文__关于函数极限的多种求法(编辑修改稿)

本科毕业论文__关于函数极限的多种求法(编辑修改稿)内容摘要：

211211  利用变量替换求极限 要点： 为了将未知的极限化简，或转化为已知的极限，可根据极限式的特点，适当引入新变量，以替换原有的变量，使原来的极限过程，转化为新的极限过程 . 例 10 若 limnx xa ， limnx yb ，试证 1 2 1 1l im n n nx x y x y x y abn     解 令 nnxa ， nnyb ，则 n 时， ,0nn .于是 1 2 1 1n n nx y x y x yn   = 1 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n na b a b a bn              = 1 2 1 2nna b a bnn           1 2 1 1n n nn        . （ 1） 当 n 时第二、三项趋向零 .现证第四项极限亦为零 . 事实上，因 0n (当 n 时 )，故 n 有界，即 0M，使得 n M  （ nN ），故 111 2 1 100 nnn n n Mnn                 从而（ 1）式以 ab 为极限 . 利用初等函数的连续性求极限 （适用于求函数在连续点处的极限） 8 利用初等函数的连续性求极限主要应用下列结果： (1)若 f(x)在 0x 处连续，则0xlimx f(x)= f( 0x )； (2)若)(x 0limx x （ x） =A， y=f(u)在 u=A 处连续则)(x 0limx xf[ (x)]=f(A)。 (3)若)(x 0limx xf(x)=A0, )(x 0limx xg(x)=B,则)(x 0limx x)()]([ xgxf = BA 例 11： 22lim sin ( )x nn  解 2 2 2 2s i n ( ) s i n ( )n n n n n      222s in s in 111nn n nn . 由于初等函数在有定义的地方皆连续， 原极限 22s in l im s in 12111xn  . 利用洛必达法则求极限 洛比达法则是求“ 00 ”型和“  ”未定式极限的有效方法，但是非 未 定极限却不能求。 （ 0 ，   ， 0 ， 1 ， 0 型未定式可以转化为“ 00 ”型和“  ”未定式） 定理 4：若 （ i）0xlimx f(x)=0，0xlimxg（ x） =0 （ ii） f与 g在 0x 的某空心领域 )(xU 00 内可导，且 g（ x）≠ 0 （ iii ）0xlimx )()(xgxf =A （ A 可为实数，也可为177。  或  ）， 则0xlimx )()(xgxf =0xlimx )()(39。 39。 xgxf =A 此定理是对“ 00 ”型而言，对于函数极限的其他类型，均有类似的法则。 9 例 12[2] 求极限 11 cos0sinlim xxxx  解 11 c o s00si n 1 si nl i m l n l i m l n1 c osxxxxxx x x          2002sinlnc o s sinl im l imsin2xxxx x xxxxx    0 3c o s s inlimxx x xx 20 sin 1lim 33x xxx   . 故原式 = 13e . 注意 (1)每次在使用 39。 L Hospital 法则之前，务必考察它是否属于七种不定型，否则不能用。 (2)一旦用 39。 L Hospital法则 算不出结果，不等于极限不存在 .例如sinlim 1cosxxx  ，就是如此 .这是因为 39。 L Hospital 法则只是充分条件，不是必要条件 . (3)  型的 39。 L Hospital 法则使用时，只需检验分母趋向无穷大即可，分子不趋向无穷大也没关系 . 利用 Toylor 公式求极限 例 13 求极限22 220112lim(c o s ) sinxxx xx e x   解 原式 =442 4 4 2 41 ()183 11 12( ) ( ( ) )2 24xxx x x x x    10 利用导数的定义求极限 定义 3 设函数 )(xf 在点 0x 的某个邻域内有定义 , 若极限 00 )()(lim0 xxxfxfxx  存在 ,则称函数 )(xf 在 点 0x 处可导 , 并称该极限为函数 )(xf 在点 0x 处的导数 , 记作 )( 0xf . 例 14 设 )( 0xf 存在 , 求 h hxfhxfh)()(lim 000. 解 h hxfhxfh)()(lim 000 0 0 0 00 ( ) ( ) ( ) ( )l imh f x h f x f x f x hh      0 0 0 000( ) ( ) ( ) ( )l im l imhhf x h f x f x h f xhh     00( ) ( )f x f x 02 ( )fx . 例 15 ,0)()(  afaxxf 可导，在设 求nn afnaf  )()1(lim . 解 这是 1 型极限 ,先转化成 nafnafneaf naf 1)(ln)1(ln)()1( , 其指数是 00 型极限 , 由数列极限于函数极限的关系及导数的定义知   )()(ln1 )(ln)1(lnlim 时当 axxfnafnafn , 因此由复合函数求导得 原式  1l n ( ) l n ( )l i m ()1l n ( ) () (nf a f anfafx fane e e x a     当 时 ）. 注意 对于一般抽象函数求极限时 , 如果已知它的导数是存在的 , 则经常利用导数的定义求极限 . 11 利用微分中值定理求极限 用拉格朗日中值定理求极限（或柯西中值定理） 定理 5[1] (拉格朗日中值定理 )若函数 )(xf 满足如下条件： (1) )(xf 在闭区间  ba, 上连续； (2) )(xf 在开区间 ),( ba 上可导 , 则在 ),( ba 上至少存在一点  ,使得 ab afbff  )()()( . 例 16 求 bx xb bxbx lim,其中 0b . 解 由题意 , 可对 xb 和 bx 分别应用拉格朗日中值定理 , 则 原式 =   bx bxbx bbbbbxbxlim = )ln(lim 121   bbx bbb  = )1(lnln 1   bbbbbb bbb （其中 ),(, 21 bx 例 17 计算 )13a r c t a n3( a r c t a nlim 2  xxxx. 解 设 xxf 3arctan)(  , 由于 )(xf 在  1, xx 上连续 , 在 )1,( xx 内可导 . 于是 , 由微分中值定理知 33( , 1 ) , ( ) a r c ta n a r c ta n1x x f xx     使223 3, 当 ,时x  , 所以 33 3lim 222    原式. 用泰勒展式求极限（或麦克劳林展式 ) 例 18 计算 4202coslim x exxx . 解 因为 )(821 44222 xoxxe x  , )(2421co s 542 xoxxx。