概率树在全概率公式中的应用毕业论文(编辑修改稿)

概率树在全概率公式中的应用毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

在图论中简称树 (tree)，它有以下两个特点 ： 概率树在全概率公式中的应用 [第 6 页 共 19 页 ] (1)连通 ，即图中任意两个顶点之间都有一条通路 (由若干条边组成 )； (2)无圈 ，即图中任意两个顶点之间都没有两条不同的通路。 例如，图 2(1)是树，而图 2(2)整体不连通 ，图 2(3)中有圈。 所以，图 2(2)、 (3)都不是树。 （ 1） （ 2） （ 3） 图 2 黄冈师范学院本科生毕业论文 [第 7页 ,共 19页 ] 第 3 章 概率树的应用 概率树在概率计算中的应用 对于需要多个步骤完成的试验 ，可以按照试验的先后顺序 ，自下而上地 (或规定其他方式 )把各步试验的可能结果作为顶点 ，再按照各步之间的关系用边连结相关的顶点，形成树形图，从而达到比较直观地表示出整个试验过程的效果，层次分明且不重不漏地列出所有可能的结果。 因此， 解决一些概率问题时通常会使用树形图。 例如 ,建立如图所示的概率树 ,相应的概率条件有 : 1C 11(C|B)P 1B 1P( )B 21(C |B)P 2C E 1C 2P( )B 12(C|B )P 2B 22(C |B )P 2C 图 概率树 1 2 1 21 2 1 1 2 1 1 2 2 2B B = C C =   （ i ） ， ；( i i ) P ( B ) + P ( B ) = 1 , P ( C | B ) + P ( C | B ) = 1 , P ( C | B ) + P ( C | B ) = 1。 这些条件便于我们对建立的概率树进行正确检查。 概率树在全概率公式中的应用 [第 8 页 共 19 页 ] 在每一条从末梢节点到根节点的概率支上 , 根据乘法公式 , 各个事件共同发生的概率就等于各个线段上条件概率的乘积 , 例如：( E B C ) P( B C ) P( B ) P( C | B ) , ( i 1 , 2 .)i i i i i i iP   若以所求事件为末节点 , 则导致所求事件发生的情况 , 就反映于根节点到末节点的路径 , 于是根据完备事件组的定义 , 所求事件的概率就等于各路径上的概率的和 , 例如 : 1 2 1 2 1 1 2 2P( C ) ( B ) ( B C ) P( B C ) ( B ) P( C | B ) P( B ) P( C | B ) ( i 1 , 2 .)i i i i i i iP C B C P P      因此应用全概率公式时 , 可先画出概率树 , 再以所求事件为末节点进行“回溯” , 看看事件的发生会沿着那几条路径 , 那么事件发生的概率就是沿着那几条路径发生的概率的和 , 而每条路径上发生的概率就等于各个线段上概率的乘积 , 因此应用全概率公式即就是将“回溯” 得到的不同路径上的概率相加 , 同一路径上的概率相乘 , 这个原则也叫“乘法原理和加法原理” , 类似高等数学中的复合函数求导法则 ,学生很容易掌握和应用。 这不但拋开了对复杂事件要先确定完备事件组的困难 , 而且从根节点到所求的末节点的路 径上也能提供出完备事件组的多种组成形式 , 可根据需要具体选择。 为了使概率树的分析过程变得更加简洁直观 , 方便书写和计算 ,在画图时 , 可将概率树在形式上进行以下化简 : (ⅰ )概率树中同一末梢节点可进行合并。 (ⅱ )当只考虑其中一个事件发生的概率时 , 末节点中可只画出该事件 , 其它的事件略去。 (ⅲ )当试验为复合型随机试验 , 中间过程过于复杂时 , 可进行事件合并和过程简化。 (ⅳ )当试验出现无限循环时 , 要从出现循环的地方切断 , 将所求事件作为末节点 , 直接与切断之前的部分连接。 通过这些简 化措施 , 画出的概率树更接近复合函数求导时的链式图 , 便于学生联系“乘法原理和加法原理” , 下面就通过具体的例子来说明如何应用概率树的形式来解决全概率问题。 为了便于说明如何应用概率树给出事件 A 的划分。 根据随机试验的不同 , 将古典概型问题大致分成两类。 I “ 一次随机试验 ” 问题。 II“ 复合随机试验 ” 问题。 黄冈师范学院本科生毕业论文 [第 9页 ,共 19页 ] I 类问题求解中的应用 此类问题的随机试验 E 只进行一次 , 设对应的样本空间为 。 若事件 A  的发生受试验中多个因素的影响。 这时一般可从事件 A ( 或试验结果 ) 出发 , 用概率树枝状分析表示 A 与所有影响 A 发生的诸因素之间的关系 , 进而找出蕴于这些因素的互不相容事件组。 这个互不相容事件组一般能将事件 A 直接或间接的分解掉 , 从而达到求事件 A 的概率的目的。 【例 1】 某射击小组共有 20 名射手 , 其中一级射手 4 人 , 二级射手 8 人 ,三级射手 7 人 , 四级射手 1 人。 一 , 二 , 三 , 四级射手能通过选拔进入决赛的 概率分别是 , 求在小组内任选一名射手 , 该射手能通过选拔进入决赛的概率 ? 分析与解题 : 本例的随机试验 E 只进行了一次从小组内任选某级射手。 故属 I 类问题 , 所求事件 A 表示 “ 任选其中某级射手能进入决赛 ” 定义在 E 上。 由于小组内射手的射击水平不等 , 所以事件 A 的发生与选中的是哪一级射手有关 , A 是一个复杂事件。 解 现设  是 E 的样本空间 , 事件 kB 表示 “ 所选为 k 级射手 ” , 1,2,3,4k。 则可由概率树 1 分析如下 : 1B 420 2B 820  720 3B 120 4B 图 1 概率树在全概率公式中的应用 [第 10 页 共 19 页 ] 可见 , 1,2,3,4iBi 互不相容恰成  的划分。 从而简接地得到事件 A 的划分 iAB , 由全概率公式即得 : 414 8 7 1( A ) ( A | B ) P ( B ) 0 . 9 0 . 7 0 . 5 0 . 22 0 2 0 2 0 2 00 . 6 4 5kkkPP          例 1 说明 ， I 类问题用概率树较容易得到复杂事件 A 的划分，在实际应用时，还可借助概率树综合运用两种分解方法。 【例 2】 甲 、乙 、丙三门高射炮同时向敌机射击 , 它们击中的概 率分别是 ,。 飞敌机被击中一发而被击落的概率为 , 被击中二发而被击落的概率为 , 被击中三发则一定被击落， 求敌机被击落的概率 ? 分析与解题 : 本例也是 I 类问题，所求事件 A 表示“敌机被击落”与敌机被击中几发有关，所以 A 是复杂事件。 可利用概率树 2 分析如下： 1 2 3CCC 1B 1 2 3CCC 1 2 3CCC  1 2 3CCC 2B 1 2 3CCC 1 2 3CCC 3B 1 2 3CCC 图 2 其中  是试验 :“ 三门炮同时向敌机射击 ” 的样本空间 , kB 表示 “ 敌机被击中 k 发炮弹” 1, 2 , 3 , C (i 1, 2 , 3 )ik 分别表示敌机被甲炮 、乙炮 、丙炮击中的事件。 由概率树分析知 kB 构成了  的一个 划分 , 而是 12,BB也是复杂事件 , 它们又分别被 1 2 3,C C C 构成的事件组直接分解掉。 于是由概率的可加性得 : 1( B ) 0. 4 0. 5 0. 3 0. 6 0. 5 0. 3 0. 6 0. 5 0. 7 0. 36P           2( B ) 0 .4 0 .5 0 .3 0 .4 0 .5 0 .7 0 .6 0 .5 0 .7 0 .4 1P           黄冈师范学院本科生毕业。