二阶常微分方程的解法及其应用本科毕业论文(编辑修改稿)

二阶常微分方程的解法及其应用本科毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

t  ,而且它们是线性无关的 .这样一来 ,特征方程的k 重零根就对应方程 的 k 个线性无关的解 1, 21, , , kt t t  .如果这个 k 重根 1 0 ,我们作变量变换 1tx ye ,注意到 11( ) ( ) ( ) ( 1 ) 2 ( 2 )1 1 1( 1 )() 2!ttm m m m m mmmx y e e y m y y y         ， 可得  1 1 11111()nnt t tnnnd y d yL y e b b y e L y ed t d t        , 于是对应方程 化为   111 1 0nnnd y d yL y b b yd t d t    , 其中 1 2 3, , , , nb b b b 仍为常数 ,而相应的特征方程为 111( ) 0nn nnG b b b         , 直接计算易得 1 1 1 1( ) ( ) ( )11( ) ( )tt t t tF e L e L e e G e              , 因此 1( ) ( )FG   , 从而 1( ) ( )jjFG   ， 1,2, ,jk , 这样 ,问 题就化为前面讨论过的情形了 . 常数变易法 常数变易法是求解微分方程的一种很重要的方法 ,常应用于一阶线性微分方程的求解。 在常 数变易法中， 通过 将常数 C 放入  XU 当中 就可以得到非齐次线性方程的通解。 它是拉格朗日十一年的研究成果，我们所用仅是他的结论，并无过程。 它是连接非齐次线性微分方程与相应的齐次线性微分方程的桥梁。 对于二阶常系数非线性常微分方程的解法 ,只要先求出其一个特解 ,再运用特征方程法求得方程的通解 . 求常微分方程 22 ()d x dxp qx f tdt dt  的通 解 . 解 方程 22 ()d x dxp qx f tdt dt  对应齐次方程为 22 0d x dxp qxdt dt  , 其特征方程为 02  qp . 由于方程 22 ()d x dxp qx f tdt dt  的通解等于其对应的齐次线性微分方程的通解与其自身的一个特解之和，而二阶常系数齐次线性微分方程的通解我们已经研究过了 ,所以此处只需求出其一个特解 . 若  为上面方程的实根 ,则 txe 是方程 22 0d x dxp qxdt dt  的解 .由常数变易法设 22 ()d x dxp qx f tdt dt  的一个解为 * ()tx c t e ,代入原方程并化简得 39。 ( ) ( 2 ) ( ) ( )tc t p c t e f t   , 这是关于 39。 ()ct的一阶线性微分方程 ,其一个特解为  ( 2 ) ( )( ) ( )p t p tc t e e f t d t d t   , 从而得上面方程的一个特解为 * ( 2 ) ( )( ( ) )t p t p tx e e e f t d t d t     . 若  为上面方程的复根 ,我们可以设 ,a bi a b R   且 0b ，则* sinatx e bt 是方程 22 ()d x dxp qx f tdt dt  的解，根据常数变易法可设其一个特解为 * ( ) sinatx c t e bt ，与情形 1 的解法类似得方程 22 ()d x dxp qx f tdt dt  的一个特解为 ( 2 ) ( 2 )*2( ) s i ns i n .s i np a p a tat e f t e b td tx e b t d tbt    由于 *x 是特解 ,则积分常量可以都取零 . 拉普拉斯变换法 拉普拉斯变换 法 是 工程数学 中常用的一种 积分变换 法 ，又名拉氏转换 法。 拉氏变换 法 是一个 线性变换 法 ，可将一个有 因 数实数 )0( tt 的函数转换为一个 因 数为复数 s 的函数。 有些情形下一个实变量函数在实数域中进行一些运算并不容易，但若将实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得 实数域中的相应结果，往往在计算上容易得多。 拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解 线性微分方程 尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的 代数方程 来处理，从而使计算简化。 在经典控制理论中，对 控制系统 的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。 引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用 传递函数 代替常系数微分方程来描述系统的特性。 这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性、分析控制系统的运动过程，以及提供控制系统调整的可能性。 常系数线性微分方程可以应用拉普拉斯变换法进行求解，这往往比较简单。 由积分 ( ) ( )0 stF s e f t dt  . 所定义的确定于复平面（ Re ）上的复变数 s 的函数 ()Fs,称为函数 ()ft 的拉普拉斯变换 ,我 们称 ()ft 为原函数 ,而 ()Fs称为像函数 . 拉普拉斯变换法主要是借助于拉普拉斯变换把常系数线性微分方程转换成复平面 s 的代数方程 .通过一些代数运算 ,一般地再利用拉普拉斯变换表 ,即可求出微分方程的解 .方法十分简单方便 ,为工程技术工作者所普遍采用 .当然 ,方法本身有一定的局限性 ,它要求所考察的微分方程的右端函数必须是原函数。 求解方程 2 39。 2 2 , (1 ) (1 ) 0td x d x x e x xd t d t     . 解 先使 1t ，将问题化为 2 ( 1 ) 39。 2 2 , (0 ) (0 ) 0td x d x x e x xd t d t     , 再对新方程两边作拉普拉斯变换 ,得到 2 11( ) 2 ( ) ( ) 1s X s。