20xx考研数学(高数基础)(编辑修改稿)

20xx考研数学(高数基础)(编辑修改稿)内容摘要：

2coslim 三．用夹逼定理求极限 例 1．求   nnn 2 12654321lim  解：令 nnxn 2 12654321  ， 12 25432  n nyn  则 nn yx 0 ， 于是 12 10 2  nyxxnnn 由夹逼定理可知 0lim 2  nn x，于是原极限为 0。 例 2．求下列极限  nkn kn1 21lim 四．用洛必达法则求极限 1．“ 00 ”型和“  ”型 例 1．求nnnn 1sin1sin1lim3 解：离散型不能直接用洛必达法则，故考虑 3030 s inlims in s inlim x xxx xx xx   等价无穷小代换 616s inlim3 c o s1lim020   xxx x xx 原式 61 例 2．求10102limxexx 人人英语社区整理 ,不得用于商业用途 16 2．“  ”型 和“ 0 ”型。 例 1．求   111lim0 xx ex 例 2．求   2220 c o ss in1lim x xxx 例 3．求 xxx lnsinlim 20  例 4．设 0a ， 0b 常数，求   xxx bax11lim 3．“ 1 ”型，“ 0 ”型和“ 0 ”型 这类都是     xgxflim 形式，可化为     xfxge lnlim 而     xfxg lnlim 都是“ 0 ”型 ，按 2 的情形处理 例 1．求 xx x 2sin0lim 例 2．求   xx x 2cot0 coslim （前面已用重要公式的方法） 解：令   xxy 2cotcos ， xxy co slnco tln 2 2020200 c o slnl i mt a nc o slnl i mc o slnc o tl i mlnl i m x xxxxxy xxxx   （“ 00 ”型） = 212tanlim0  x xx，  210lim eyx 例 3．求 xx xx  1c o s1s inlim 五．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 人人英语社区整理 ,不得用于商业用途 17 例 1．求 1s in13 1lim 23 2   nnnnn 解：  013111lim13 1lim3 323 2  nnnnnnnnn， 11sin 2 n ， 根据有界变量乘无穷小仍是无穷小，可知原式 0 例 2．求     xxe xxxx 5s in21ln1 3a r c ta n2c o s1lim 0  例 3．求    xx xxxx  1lnc o s11c o ss in3lim20 解：这个极限虽是“ 00 ”型，但分子，分母分别求导数后的极限不存在，因此不能用洛必达法则。 原式  231ln1c oss in3c os11lim0  xxxxxxxx 例 4．设 n 为正整数，求  x xxxn nnx c o s111lim 20  六．求分段函数的极限 例 1．求下列函数在分段点 处的极限 （ 1）  0 ,c o s10 ,2s in2xxxxx xxf （ 2）  1 ,211 ,1122xxxxxxg 解：（ 1）   22 2s in2lim2s inlim0000    xxx xfxx 人人英语社区整理 ,不得用于商业用途 18   221limc o s1lim00 22020    xxxxfxx   2lim0   xfx （ 2）     21lim11lim01121   xxxgxx  2321lim01 21    xg x 因为    0101  gg ，故  xgx 1lim不存在。 例 2．求 xxeexxxs in12lim410 七．求极限的反问题 例 1．设   31s inlim 221  xbaxxx 求 a 和 b 例 2．设 1s in1lim 0 20   xx dttatxbx，求 a 和 b。 167。 1． 3 连续 甲 内容要点 一． 函数连续的概念 1．函数在点 0x 处连续 定义 1．设函数  xfy 在点 0x 的某个邻域内有定义，如果当自变量的改变量 x （初值为 0x ）趋近于 0 时，相应的函数改变量 y 也趋近于 0 ，即 人人英语社区整理 ,不得用于商业用途 19 0lim0  yx 或      0lim 000  xfxxfx 则称函数  xfy 在点 0x 处连续。 函数  xfy 在点 0x 处连续也可作如下定义。 定义 2．设函数  xfy 在点 0x 的某个领域内 有定义，如果当 0xx 时，函数 xf 的极限值存在，且等于 0x 处的函数值  0xf ，即    00lim xfxfxx  则称函数  xfy 在点 0x 处连续，此时有      000 limlim xfxfxf xxxx    并且有      00 limlim 0 xxxx xfxfxf   即如果函数在点 0x 处连续，则在点 0x 处可以交换极限号和函数号的顺序。 定义 3．设函数  xfy ，如果    00lim xfxfxx ，则称函数 xf 在点 0x 处左连续；如果    00lim xfxfxx ，则称函数 xf 在点 0x 处右连续。 由上述定义 2 可知，如果函数  xfy 在点 0x 处连续，则 xf 在 0x 处既左连续也右连续。 2．函数在区间内（上）连续的定义 如果函数  xfy 在开区间  ba, 内的每一点都连续，则称 xf 在  ba, 内连续。 如果  xfy 在开区间内连续，在区间端点 a 右连续，在区间端点 b 左连续，则称 xf 在闭区间  ba, 上连续。 二．函数的间断点及其分类 1．函数的间断点的定义 如果函数  xfy 在点 0x 不连续，则称 0x 为 xf 的间断点。 2．函数的间断点的分类 人人英语社区整理 ,不得用于商业用途 20 函数的间断点分为两类： （ 1）第一类间断点 设 0x 是函数  xfy 的间断点。 如果 xf 在间断点 0x 处的左、右极限都存在，则称 0x 是 xf 的第一类间断点。 第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。 （ 2）第二类间断点 第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。 常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。 例如． 0x 是   xxxf sin 的可去间断点，是   xxxf  的跳 跃间断点，是   xxf 1 的无穷间断点，是  xxf 1sin 的振荡间断点。 三．初等函数的连续性 1．在区间 I 连续的函数的和、差、积及商（分母不为零），在区间 I 仍是连续的。 2．由连续函数经有限次复合而成的复合函数在定义区间内仍是连续函数。 3．在区间 I 连续且单调的函数的反函数，在对应区间仍 连续且单调。 4．基本初等函数在它的定义域内是连续的。 5．初等函数在它的定义区间内是连续的。 四．闭区间上连续函数的性质 在闭区间  ba, 上连续的函数 xf ，有以下几个基本性质。 这些性质以后都要用到。 定理 1．（有界定理）如果函数 xf 在闭区间  ba, 上连续，则 xf 必在  ba, 上有界。 定理 2．（最大值和最小值定理）如果函数 xf 在闭区间  ba, 上连续，则在这个区间上一定存在最大值 M和最小值 m。 其中最大值 M 和最小值 m 的定义如下： 定义 设   Mxf 0 是区间  ba, 上某点 0x 处的函数值，如果对于区间  ba, 上的任一点 x ，总有  Mxf  ，则称 M 为函数 xf 在  ba, 上的最大值。 同样可以定义最小值 m。 定理 3．（介值定理）如果函数 xf 在闭区间  ba, 上连续，且其最大值和最小值分别为 M 和 m ，则对于介于 m 和 M 之间的任何实数 c ，在  ba, 上至少存在一 个  ，使得   cf  推论：如果函数 xf 在闭区间  ba, 上连续，且 af 与 bf 异号，则在  ba, 内至少存在一个点  ，使得 人人英语社区整理 ,不得用于商业用途 21   0f 这个推论也称为零点定理 思考题：什么情况下能保证推论中的  是唯一的。 乙 典型例题 一．讨论函数的连续性 由于初等函数在它的定义区间内总是连续的，所以，函数的连续性讨论多是指分段函数在分段点处的连续性。 对于分段函数在分段点处的连续性，若函数在分段点两侧表达式不同时，需根据函数在一点连续的充要条件进行讨论。 例 1．讨论函数  0,1s in0,00,1xxxxxexfx 在点 0x 处的连 续性。 解： 因     0limlim00 100    xxx exff     01s inlimlim00 00    xxxff xx   00 f 即有      00000 fff  ，故 xf 在点 0x 连续。 例 2．讨论函数   0 ,110 ,210 ,1lnxxxxxxxxf 在点 0x 的连续性。 二．已知函数的连 续性求未知参数 人人英语社区整理 ,不得用于商业用途 22 例 1．设  0 0s inxkxx。