几何条件代数化与代数运算几何化(编辑修改稿)

几何条件代数化与代数运算几何化(编辑修改稿)内容摘要：

3 11| | ( ) ( 1 )2 8 8 8NP       , 2 21 32| | 1 ( 2 ) | | 2A B x x   g, 32||4AM  , 222 2 1 1 3 3| | ( ) ( )4 8 2 8 8MN     ,22 3 11| | | | | | 8N A A M M N  ,故 | | | |NP NA ,又 | | | |NP NQ , | | | |NA NB ,所以 | | | | | | | |NA NP NB NQ, 由此知 A 、 P 、 B 、 Q 四点在以 N 为圆心 ,NA 为半径的圆上。 （第四次周考） )0,(1:2222  babyaxE 过 M（ 2， 2 ）， N（ 6 ， 1）两点， O 为坐标原点 . （ 1）求椭圆 E 的方程； 5 （ 2）是否存在圆心在原点的圆 ,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A， B，且 OBOA。 若存在，写出该圆的方程，并求 |AB|的取值范围；若不存在，说明理由 . 分析： 几何条件代 数化： 平面向量条件 OBOA 本质特征： OA 与 OB 垂直；代数关系： 1 2 1 2 0x x y y. 圆的 切线 圆心到切线的距离等于半径 ，找 ,km关系。 |AB|的取值范围 代数关系：弦长公式和 范围问题多样化。 一般问题特殊化 分 斜率 存在与 不存在 讨论。 无斜率 任何条件 时 ，直线 设成 mkxy  . 代数运算几何 化 利用 1 2 1 2 0x x y y找 ,km关系， )1(38 22 km  把二元转化为一元。 解题方向：联立直线和椭圆方程解题。 ：（ 1）将 NM, 的坐标代入 椭圆 E 的方程得 1161242222baba 解得 .4,8 22  ba 所以椭圆 E 的方程为 .148 22  yx （ 2）证明：假设满足题意的圆存在，其方程为 222 Ryx  ，其中 .20 R 设该圆的任意一条切线 AB 和 椭圆 E 交于 A（ x1， y1）， B（ x2， y2）两点， 当直线 AB 的斜率存在时，令直线 AB 的方程为 mkxy  ，① 将其代入 椭圆 E 的方程并整理得 .0824)12( 222  mk mxxk 由韦达定理得 .12 82,12 42221221  kmxxk kmxx ② 因为 OBOA ， 所以 .02121  yyxx ③ 将①代入③并整理得 0)()1( 221212  mxxkmxxk 联立②得 )1(38 22 km  ④ 因为直线 AB 和圆相切，因此21|| kmR  ,由④得 ,362R 所以 存在圆 3822  yx 满足题意 . 6 当切线 AB 的斜率不存在时，易得 ,382221  xx由椭圆方程得382221  yy 显然 OBOA ， 综上所述，存在圆3822  yx满足题意 . 解法一： 当切线 AB 的斜率存在时，由①②④得 221221 )()(|| yyxxAB  2212 )(1 xxk  212212 4)(1 xxxxk  12 824)12 4(1 22222  kmk kmk 12 132112 124 2222 kkkk 令 12 122  kkt ，则 121 t ，因此 .12)43(364)321(32|| 22  tttAB 所以 ，12||332 2  AB 即 32||3 64  AB . 当切线 AB 的斜率不存在时，易得 364|| AB ，所以  ||364 AB .32 综上所述，存在圆心在原点的圆 3822  yx 满足题意 ，且 32||3 64  AB . （第五次周考） 椭圆 22 1(。