利用数模进行思维训练所有专业(编辑修改稿)

利用数模进行思维训练所有专业(编辑修改稿)内容摘要：

恩大学毕业论文（设计） 8 因为相对不公平度是人为定义的一个数量指标，它并没有严 格的定义，因此，我们就可以引导学生开动脑筋，寻求其他的定义方法。 此时，我们适当的加以引导、提示，学生很快就会发现 A 的相对不公平度如下两种新的定义方法： rA(n1,n2)=222211npnpnp  或 rA(n1,n2)=)2,1(22112211 nnrAnpnpnpnp  又如在讲解完用 Q 值方法进行席位分配时，又可以引导学生去探讨“ D ’Hondt”法、“ D ’ Hondt + Q ”值法等其他形式的分配方法，并对这些方 法进行比较，不仅要让学生掌握更多的知识，更重要的是培养学生求异性的思维能力，同时要重视引导学生对多种方法进行比较，优化方法，提高解决问题的速度并注意找出同一问题存在多种方法的条件与原因，挖掘其内在规律。 这样将能很好的达到教学双赢了，提高了教学质量又培养了思维能力，何乐而不为呢。 “凡事预则立，不预则废。 ”预见意识对探索成功率的提高是大有裨益的。 解题过程中我们对于解题策略、思路、方向和手段都应该作出正确的判断和抉择。 否则将误入歧途。 因此在数学建模教学中，先不急于分析解题思路，而恰当的留有空间， 让学生仔细审题，联系相关知识，对比权衡，如未知数、自变量、参数的确定，辅助元素的设置，坐标系、点的坐标的选取，分类讨论的时机掌握，及讨论标准层次的确定等，他们对于建模的 成败、难易、繁简会产生怎样的影响，在此基础上作出正确估计和判断。 例如：在讲解“正规战与游击战”模型时，在建模之前就可以引导学生思考，影响战争结局的因素有哪些。 其中哪些是主要因素，哪些是次要因素。 如何将一个看似与数学无关的问题来进行转化呢。 用这些问题来调动学生进行思考； 而在讲解完正规战争模型： x=ay Y=bx X(0)=x0,y(0)=y0 后，转而讲解游击 战争模型时，就可以让学生通过直觉思维思考一下，游击战争与正规战争的区别在哪。 影响双方士兵人数变化的因素还有正规战争一样吗。 这样引导学生一步步的深入思考下去，通过学生思考，凭直觉可以预见到解决本题的关键，学 生很快就会得到游击战争模型： x=cxy 仰恩大学毕业论文（设计） 9 Y=dxy X(0)=x0,y(0)=y0 在数学建模这门课程中的，许多模型的得到都是一类条理分明，思路清晰，由浅入深具有鲜明层次性的问题，随着台阶的上升涉及的知识点逐渐增多，不断探索的问题将得到逐步地解决， 在这样一个不断探索的过程中让学生顺着清晰的思路进行自行探讨，从而解决问题，有助于培养思维的连续性。 例如我们在讲解传染病模型时，刚开始我们不区分病人和健康的人群可以得到一个较为简单的模型 : 0)0(, xxxdtdx   进而得到模型的解： x(t)=x0e^t ，此时的结果表明，随着时间的增加，病人的人数无限增长，这显然不符合实际。 这时我们就可以引导学生思考建模失败的原因：我们在第一个模型里没有考虑到病人有效接触的人群中既有健康者又有病人，因而我们可以对模型（ 1）进行改进，从而得到模型 0)0(),1( iiiidtdi   .模型 2对模型 1进行了显著的改善，利用模型 2，我们可以得到传染病高潮期到来的时刻为 )101ln()1(^  itm  ,，可以为医疗部门提供信息服务。 但是模型（ 2）同样不是完美的，因为模型（ 2）的解为 : )(^)101(11)(teiti  ，从这个解我们可以得到，当∞→ t 时， 1→ i，即时间充分长以后，所有的人终将被传染，全变为病人，这显然也不符合实际。 这是我们就可以引导学生进一步思考，这是为什么。 进而，我们就可以分析出在模型（ 2）中，虽然我们把人群进行了划分，但是我们最终还是忽略了考虑病人是可以被治愈的情况，因此我们可 以对模型（ 2）进行改进，从而得到更为完善的模型。 以上每个模型之间都存在着递进与转化的关系，教学时应根据学生实际水准引导学生研究前后问题间的联系，让学生在思考讨论再思考中进行探索，尽可能传授给学生完整的系统的数学知识以促进学生思维品质的优化。 广阔性 探究表现为“为什么是这样”“还会怎样”的心理活动过程。 对知识的学习，仰恩大学毕业论文（设计） 10 表现为不满足于知其然，执意追求知其所以然。 而创造性思维是最高层次的思维活动，是在自由想象的基础上对头脑中已有知识、经验进行新的组合的结果。 引导、诱发、鼓励学生在强烈的创新意识驱动下不断实现 自我突破。 敢于“标新立异”，敢于“离经判道”。 例如在讲解层次分析模型时要用到求矩阵的特征值和特征向量，而利用我们所掌握的知识，求解高阶矩阵的特征值和特征向量是相当复杂的，又由于层次分析模型中，对特征向量的要求并一定要非常准确，在这种情况下，我们就可以带领学生脱离我们以前所学方法的局限，来寻求求解矩阵特征值和特征向量的近似的方法：和法、幂法和根法。 教学中放手让学生朝各个方向发散，按照他们自己的想法去探求。 你会发现由于他们的思考角度不同，出现了许许多多的不同答案，有些结果出乎老师所料。 通过学生交流，再引导、 反思，使学生主动进行变式探究，思维向不同的方向发散。 不仅巩固了所学知识；而且激发学习数学的兴趣和积极性，达到开发潜能、发展智力、提高能力的目的，从而培养学生的创新精神和创造能力。 引导学生自主联想，揭示和建立新旧知识的联系是培养思维联想性的有效途径。 学生联想回忆的过程可以实现挖掘激发思维潜力。 数学研究本身就是一个不断从实践→认识→实践的过程，这样的过程推进了数学的进步。 而思维的联想性在这一过程当中起着举足轻重的作用。 所以教师可以在教学过程中多设计一些反复式问题，引导学生联想与回忆，建立好 新旧知识间的联系，深化对知识的理解。 经常回忆与反思必将使学生的思维能力得到大大地提升。 因此，在数学建模教学中，应紧密结合学生的认知活动，适时设计好反复式问题，培养学生思维的联想性。 例如我们在介绍完人口阻滞 增长模型（ Logistic） 0)0( )1({ ntn knnrdtdn 后，可以引导 学生思考草原上羊群数量的增长，渔场中鱼群数量的增长是以什么样的方式增长的呢。 是不是也满足 Logistic 模型呢。 又如，在讲到稳定性模型的第一节内容“捕渔业持续收获”问题时，要考察在 没有捕捞的前提下鱼群数量会发生什么变化，这时，我们就可以引导学生，将前面学习过的 Logistic 模型与之对比，引导学生进行联想，让学生主动去回顾，大胆去实践，亲身体验知识的仰恩大学毕业论文（设计） 11 发生和发展过程。 再通过实践所得到的结论，带回到所学的知识内，反复进行复习比较，获取更多的信息，实现培养思维连续性的目的。 3 .数模融入微分课程 设计思想 在传统的微积分教学中，一般以教师讲授、学生被动接收为主。 这种教学方式在传授知识时具有较好的效果，但忽略了学生作为学习主体的地位，不利于学生主动获取知识的能力的培养，使学生缺乏创 新等能力。 在教学改革过程中，不少教学工作者已经在这方面作出了积极有效的工作。 这些工作包括数学软件Matlab 在微积分数学中的应用。 近十余年，我国普遍兴起了数学建模教学和数学建模竞赛，对推动高校数学教学改革，提高学生综合素质起到了很重要的作用，显示出数学建模教学的独特魅力和强大生命力。 我们结合自身在教学建模教学研究中的一点积累，在微积分教学中逐步开展了融入数学建模思想和进行数学建模思维训练和能力培养工作。 在微积分教学中引入数学建模的思维训练，我们主要出于以下考虑：一方面，微积分的不少教学容本身就是涉及 一个教学建模过程，比如导数概念、重积分的定义与应用等等；另一方面，让学生在大学本科早期阶段接受数学建模思维的训练，可以较好开发学生智能，又能够促进微积分课程本身的教学改革。 应用实践 在将数学建模知识较系统融入微积分教学过程中 ,有两个关键：一个是如何安排；另一个就是内容的选择。 微积分本身的教学任务较多，如何安排建模思想的“融入”是个关键。 融入的过程对授课教师又提出了较高要求。 实施时，可根据情况先对“融入”部分进行示范性讲课，集体备课等方式。 应用中需要注意“融入”内容的讲解时间安排不能太多，否则与微 积分课程本身教学任务有冲突。 因此可以将数学建模的“融入”内容作为延伸性或推广性内容展开，要讲，但又要讲粗，在课堂上指引，在课堂上指引。 选择合适的教学内容，在其教学过程中开展数学建模思想融入微积分课程的仰恩大学毕业论文（设计） 12 教学，也是我们在开展“融入”教学的一个关键。 这可基于以下几点考虑： ，确能充分发挥数学建模思想，而不是“蜻蜓点水”，有一定深度； b.“融入”过程首先确保完成微积分教学目标。 下面我们举例说明微积分教学内容的“融入”数学建模思想的问题： 函数（一元函数与多元函数） 函数是用来表示变 量间关系的一种数学模型，在很多实际问题中，要成功求解问题，往往需要首先考虑问题中涉及哪些变量，考虑问题中涉及哪些变量。 例 1 试建立数学表达式（数学模型）描述火车从 A 站运行到下一个车站 B站的速度变化情况。 假设在 A站、 B 站两站都要停靠，那么火车运行过程就主要分为加速运动、匀速运动、减速的过程。 则这个问题不要求学生立即建立模型，而是启发学生深入问题去思考，这里可以提出简化问题的分析策略（提出假设），通过这个问题培养学生问题分析能力。 幂级数的应用 这里采用一个组合数学问题，讲解幂级数的一个应用，通过此例体现类比建模思想，培养问题转换意识。 例 2现在有 2n个字母 B和 2n 个字母 C；求从它们中选出 3n 字母的不同的方式数。 分析 用因子（ 1+x+x^2+......+x^2n）表示某个字母的选择 :1 表示选取 0个，x表示选取 1 个， x^2表示选取 2个。 令。