数学运算之数的分解与拆分专题（国考）

数学运算之数的分解与拆分专题（国考）内容摘要：

数学运算之数的分解与拆分专题（国考） 数学运算之数的分解与拆分专题数的拆分问题是公务员考试常考的题型之一，考察对数的基本特性的掌握，通常此类问题都比较灵活。 一般来说此类问题整体难度不大，不过像考试中常用的代入法等在此将不再实用，故掌握方法就变得特别重要。 1分解因式型：就是把一个合数分解成若干个质数相乘的形式。 运用此方法解题首先要熟练掌握如何分解质因数，还要灵活组合这些质因数来达到解题的目的。 【例 1】三个质数的倒数之和为 a/231 ，则 a=（ ）析】将 231 分解质因数得 231=3×7×11，则 1/3+1/7 +1/11 =131/231 ，故a=131。 【例 2】 四个连续的自然数的积为 3024，它们的和为（ ）A26 析】分解质因数：3024=2×2×2×2×3×3×3×7=6×7×8×9，所以四个连续的四个自然数的和为 6+7+8+9=30。 【例 3】20n 是 2001*2000*1999*1998*3*2*1 的因数，自然数 n 最大可能是多少。 A 499 C 498 析】20n=5*2*2 的 N 次方，显然 2001*2000*1999*1998*3*2*1 中，能分解出来的 2 个个数要远远大于 5 的个数，所以2001*2000*1999*1998*3*2*1 中最多能分解多少个 5 也就是 N 的最大值，由此计算所求应为【2001÷5】+【2001÷25】+ 【2001÷125】+【2001÷625】=400+80+16+3=499。 注：【】取整数部分。 2已知某几个数的和，求积的最大值型：基本原理：a2+（a，b 都大于 0，当且仅当 a=b 时取得等号）推 论：a+b=K（常数），且 a，b 都大于 0，那么 （a+b）/2 ）2，当且仅当 a=b 时取得等号。 此结论可以推广到多个数的和为定值的情况。 【例 1】3 个自然数之和为 14，它们的的乘积的最大值为（ ）析】若使乘积最大，应把 14 拆分为 5+5+4，则积 的最大值为 5×5×4=100。 也就是说，当不能满足拆分的数相等的情况下，就要求拆分的数之间的差异应该尽量的小，这样它们的乘积 才能最大， 这是做此类问题 的指导思想。 下面再 举一列大家可以自己体会.【例 2】将 17 拆分成若干个自然数的和，这些自然数的乘积的最大值为（ ）析】将 17 拆分为 17=3+3+3+3+3+2 时，其乘 积最大，最大值为 ×2=486。 3. 排列组合型: 运用排列组合知识解决数的分解 问题。 要求对排列组合有较深刻的理解，才能达到灵活运用的目的。 【例 1】有多少种方法可以把 100 表示为（有顺序的）3 个自然数之和。 （ ）析】插板法：100 可以想象为 100 个 1 相加的形式，现在我们要把这 100 个 1分成 3 份，那么就相等于在这 100 个 1 内部形成的 99 个空中，任意插入两个板，这样就把它们分成了三个部分。 而从 99 个空任意选出两个空的选法有：9×98/2=4851（种）；故 选 A。 (注：此题没有考虑 0 已经划入自然数范畴，如果选项中出现把 0 考虑进去的选项，建议选择考虑 0 的那个选项。 )【例 2】 学校准备了 1152 块正方形彩板，用它们拼成一个长方形，有多少种不同的拼法。 析】本题实际上是想把 1152 分解成两个数的积。 1152=1×1152=2×576=3×384=4×288=6×192=8×144=9×128=12×96=16×72=18×64=24×48=32×36，故有 12 种不同的拼法。 解法二：（用排列组合知识求解）由 1152=27×32，那么 现在我们要做的就是把这 7 个 2 和 2 个 3 分成两部分，当分配好时，那么长方形的长和宽也就固定了。 具体地： 1）当 2 个 3 在一起的时候，有 8 种分配方法（从后面有 0 个 2 一直到 7个 2）； 2）当两个 3 不在一起时，有 4 种分配方法，分别是一个 3 后有 0，1，2，3个 2。 故共有 8+4=12 种。 解法三：若 1152=27×32，那么 1152 的所有乘积为 1152 因数的个数为（7+1）×（2+1）=24 个，每两个一组 ，故共有 24÷2=12 组。 【例 1】将分拆成若干 连续自然数的和，有多少种分拆办法。 【解析】整数分拆（严格地讲是自然数分拆）形式多样，解法也很多。 下面谈谈如何利用确定“ 中 间数” 法解将一个整数分拆成若干个 连续数的问题。 那么什么是“ 中间数” 呢。 其 实这里的“中间数”也就是平均数。 有的“中间数”是答数中的一个，如：1、2、 3、4、5 中的“3” 便是；也有的“中间数”是为了解题方便虚拟的，并不是答数中的一个，如：4、5、 6、7 这四个数的“中间数” 即为“。 由此我们可知，奇数个连续自然数的“中间数”是一个整数，而偶数个连续自然数的“中间数”则为小数，并且是某个数的一半。 把一个自然数分拆成指定个数的连续数的和的问题。 例 1、把 2000 分成 25 个连续偶数的和， 这 25 个数分别什么。 分析与解：这道题如果一个一个地试，岂不是很麻烦，我们先求中间数：2000÷25=80，那么 80 的左边有 12 个数，右 边也有 12 个数，再加上 80 本身，正好是 25 个数，我们又知相邻两个偶数相差 2，那么这 25 个偶数中最小的便为：8012×2=56，最大的 为：80+12×2=104，故所求的这 25 个数为：56、58、80、102、104。 例 2、把 105 分成 10 个连续自然数的和， 这 10 个自然数分别是多少。 分析与解：我们仿照例 1 的办法先求中间数：105÷10=“个数是小数，并不是自然数，很明显“是所求的数中的一个，但我们可以把 拟”为所求的数中的一个，这样也就是 边有 5 个数，右边也有 5 个数，近的分别是 10、11，这 10 个数分别是：6、7、8、9、10、 （11、12、13、14、15。 把一个自然数分拆成若干个自然数的和的形式。 例 3、84 分拆成 2 个或 2 个以上连续自然数的和，有几种。 分别是多少。 分析与解：我们先把 84 分解质因数，84=2×2×3×7 由分解式可以看出，84 的不同质因数有 2、3、7，这就说明能把 84 分拆成 2、3、7 的倍数个不同连续自然数的和，但是我们必须明确，有的个数是不符合要求的，例如把 84 分拆成 2 个连续自然数的和，无论如何是办不到的，那么我们不妨把其分拆为 3、7、8（2×2×2）个连续自然数的和。 分拆为 3 个连续自然数的和：（2×2×3×7）÷3=28 ，确定了“中间数”28，再依据例 2 的方法确定其它数，所以这三个数是 27、28、29。 同理，分拆为 7 个连续自然数的和：（2×2×3×7 ）÷7=12 ，它们是9、10、11、12、13、14、15。 分拆为 8（2×2×2）个 连续自然数的和：（2×2×3×7）÷8=它们是 7、8、9、10、（11、12、13、14。 其它情况均不符合要求。 再将此题引伸一步，怎样判断究竟有几种分拆方式呢。 就 84 而言，它有三种分拆方法，下面我们看 84 的约数有：1、 2、3、4、6、7、12、14、21、28、42、84。 其中大于 1 的奇约数恰有三个。 于是可以得此结论：若一个整数（0 除外）有 n 个大于1 的奇约数，那么这个整数就有 n 种分拆成 2 个或 2 个以上连续自然数的和的方法。 450=2*3*3*5*5，大于 1 的奇约数为 3，5，9，15，25，45，75，225 一共 8 个， 则共有 8 种拆分方法。