浅谈对称性在数学中的应用＿毕业论文(编辑修改稿)

浅谈对称性在数学中的应用＿毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

果都可以经轮换 xzzyyx  , 直接转换为其他变元的 n阶偏导数 . 例 5 设yxa rct gyxya rct gxz 22 , 求2222 ,yzxzyzxz . 聊城大学本科毕业论文 7 解 由于函数 z 对于 yx, 具有对称性 , 且 ,)( )3(22,)(2 222 222222 22 yx yxxyxyar c t gx zyx xyyxyx ar c t gxz   故 22222222222)( )3(22,)(2 yx xyxyyxar c t gy zyx yxxyxy ar c t gyz  . 有些函数在对换变量后与原来函数差别很小（如仅差一个负号） , 我们称之为“潜在对称”性函数 . “潜在对称”性函数的求导 , 对具备“潜在对称”性的函数 , 视具体情况简化求导 . 例 6 设yx xyyxyxF s ins in1 co sco s),(  , 求2222 ,yFxFyFxF . 分析 因为 ),(),( xyFyxF  , 所以 ),( yxF 不具有对称性 . 但考虑到仅差一个 负 号 , 于是当 ),(),( yxfx yxF  存在时 , ),()],([),( xyfy xyFx yxF  . 可见 , 将 xF 中 yx, 互 换后 添一负 号可得到yF. 也可用类似方法得到二阶导数 . 对称性在积分中的应用 对称性在定积分中的应用 定理 4 设函数 )(xf 在 ],[ aa 上连续 , 则   .)(0)(,)(2)(为奇函数，若为偶函数；若xfxfdxxfdxxf aoaa 如果我们放宽条件 , 只要求积分区间对称 , 则可将定理 4推广到 ： 定理 5 设 )(),( xgxf 在 ],[ aa 上连续， 则  .)(,)]()()[()(,)]()()[()()(00为奇函数为偶函数；xgdxxfxfxgxgdxxfxfxgdxxgxfaaaa 聊城大学本科毕业论文 8 定理 6 若 0 )( dxxf存在 , 则    .)(0 )(,)(2)( 0 为奇函数， 为偶函数；xf xfdxxfdxxf 定理 7 设 ],[)( cacaCxf  , 则     ).()2(,)(2)。 ()2(,0)(xfxafdxxfxfxafdxxfcaacaca 例 7 求积分   22 22 2)( dxxxxI. 解 212 2 222 2 2 22 IIdxxxdxxxI   . 因为 022 1222  Ixxxx 为偶函数，所以为奇函数， . 从而 ,   20 222 22 dxxxII . 令 tx sin2 , 则   20 22 2)s in1(s in8  dtttI . 例 8 计算   211 dxxx . 解       222 11111 dxxxdxxdxxx   2 01 12 dxx 3][arc s in2  x . 例 9 求  0 2cos1 sin dxxxx. 解 令 ux 2 , 则 原式      222222 222 s i n1c os2s i n1c oss i n1c os)2( duuuduuuuduuuu   20 2s in1co s0  duuu 聊城大学本科毕业论文 9 20]sinarc tan[  u 42. 例 10 计算  4421cos dxe xx. 解 因积分区间关于原点对称 , 可用公式   aa a dxxfxfdxxf 0 )]()([)(, 于是 , 原式   40 22 )1co s1co s( dxe xe x xx  40 2 )1 11 1(co s dxeexxx  40 2cos xdx )2(81   . 对称性在重积分中的应用 关于对称性在重积分中有如下定理 ： 定理 8 设 ),( yxf 在有界闭区域 D 上连续 , （ 1）若 D 关于 y 轴对称 , 对于任意 Dyx ),( , 则    .),(),(,),(2 ),(),(,0),(1时当时；当yxfyxfd x d yyxfyxfyxfd x d yyxfDD 其中 }0,{D 1  xDyx ）（ . （ 2）若 D关于 x 轴对称 , 对于任意 Dyx ),( , 则    .),(),(,),(2 ),(),(,0),(2时当时；当yxfyxfd x d yyxfyxfyxfd x d yyxfDD 其中 }0,{D 2  yDyx ）（ . 例 11 计算  D yxyDdyx 4,:,)(22  . 解 yxyxf  2),( 是关于 x 的偶函数 , 积分区域 D关于 y 轴对称 , 由对称性聊城大学本科毕业论文 10 得到   D D dyxdyx 1 )(2)( 22    4 220 2 )(2 x dyyxdx 15234 . 例 12 计算  D dx dyyxI )1(22, 其中 D 为矩形 22,11  yx . 解 容易看出积分中 yx, 对称 , 有   20 2210 )1(4 dyyxdxI  。