泰勒公式及函数逼近内容摘要：
泰勒公式及函数逼近 实验三 ”泰勒公式与函数逼近泰勒公式的展开格式:Series expr,x,x0,n (表示在x0点展开，阶数为n) ，而求函数的泰勤多项式格式为:Normal Sezies expPz,fxvxo,nl。 注意: 对泰勒多项式作图时可使用“Evaluate”命令把它转化为可运算的。 一个函数 /(x)若在点 xu 的邻域内足够光滑，则在该邻域内有泰勒公式oogx )JJ= Or)+了 tPP 大! (xx HOCx-xoh)当lx* - * 1很小时，有yeo = ret+ 矿 Ci)0e ro)全 ”Crn)其中,ran = fo)+研大人=1(一了称为/Co 在点 x。 处的z阶泰勒多项式;。 (C1x - *, 1 )下面我们利用Mathematica计算函数/(xz) 的各阶泰勒多项式，并通过绘制曲线图形，来进一步掌握泰勒展开与函数逼近的思想。 例1 泰勒公式的误差) 利用泰勒多项式近似计算。 若1xl<1，要求误差)R loo。 最解: 我们根据拉格朗日余项 2 1 411R， =一一 | 1x1(+ 1) “ OrDL可得，欲使 1R, < oo ，只要取” = 5 即可。 下面的Mathematica语句利用函数。 * 的5阶泰勒多项式来近似计算。 “" 的值，并判断误差<(+1T)d0 1While d0 1,a N Normal Series Exp xX ，X, 0, 5Brint d0,，" an NEBao ，N Rxn qdn aaqn n 4输出结果为:工 0.366667 0.367879 0.000.6 0.548752 0.548812 0.00000.2 0.818731 0.818731 8.6411了0.2 工.2214 工.2214 9.14930.6 1.82205 1.82212 0.00001. 2.71667 2.71828 0.00输出结果每一行的最后一项表示误差，从结果中可以看出， 当 |Ixl<1y， 其误差| R_ |< 0.005例2 观察阶数媳对误差的影响) 利用函数”的1阶多项式计算e 的值，并求误差。 (1=S,6,7,8,9,10)解: 为此，我们输入Mathematica语言如下:n 5;While n 10,a N Normal Series Exp xX ，Xi 0,n .X 1Printn " "aa " " N Ren 1 17 T nm Rem 1 aa输出结果为5 2.7166666666666667 2.7182818284590452 0.00161516176 2.7180555555555556 2.7182818284590452 0.00022627297 2.7182539682539683 2.7182818284590452 0.00002786028 2.7182787698412698 2.7182818284590452 3.0586177759 2.7182815255731922 ”2.7182818284590452 ”3.0288585310 2.7182818011463845 2.7182818284590452 2.7312660从结果中可知，阶数越高，误差越小。 例3根据图形观察泰勒展开的误差) 观察foD)=snx 的各阶泰勒展开的图形。 解; (1) x, = 0 固定，观察阶数” 的影响。 因为 7(x) = sm x在 * = 0 处的偶数阶导数为零，所以首先我们在同一坐标系内显示函数JJ(x)= Sin x及它的non = 13.5, ,13) 阶泰勒多项式的图形。 故输入命令如下; 下+ “mah1e Nonrma1 Serics Sin xn 1i 1 1 1PrenenamTo + -SiP1a+ Rara1yma+e 十上述语句中的函数阅读剩余 0%