高中数学苏教版选修2-2第1章导数及其应用132

高中数学苏教版选修2-2第1章导数及其应用132内容摘要：

解 函数 f ( x ) ＝3x ＋ 3 ln x 的定义域为 (0 ，＋ ∞ ) ， f ′ ( x ) ＝－3x 2 ＋3x ＝3  x － 1 x 2 . 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，得 x ＝ 1. 当 x 变化时， f ′ ( x ) 与 f ( x ) 的变化情况如下表： x ( 0,1 ) 1 (1 ，＋ ∞ ) f ′ ( x ) － 0 ＋ f ( x ) 3 因此当 x ＝ 1 时， f ( x ) 有极小值 f ( 1) ＝ 3. 本课时栏目开关 填一填 研一研 练一练 探究点 二 利用函数极值确定参数的值 问题 已知函数的极值，如何确定函数解析式中的参数。 答案 解 这类 问题 ，通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程，从而求出参数的值 . 需注意的是，可导函数在某点处的导数 值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件 . 本课时栏目开关 填一填 研一研 练一练 例 2 已知 f ( x ) ＝ x 3 ＋ 3 ax 2 ＋ bx ＋ a 2 在 x ＝－ 1 时有极值 0 ，求常数 a ， b 的值 . 解 因为 f ( x ) 在 x ＝－ 1 时有极值 0 ， 且 f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 ＋ 6 ax ＋ b ， 所以 f ′  － 1  ＝ 0 ，f  － 1  ＝ 0 ， 即  3 － 6 a ＋ b ＝ 0 ，－ 1 ＋ 3 a － b ＋ a 2 ＝ 0. 解之得 a ＝ 1 ，b ＝ 3 或  a ＝ 2 ，b ＝ 9. 当 a ＝ 1 ， b ＝ 3 时， f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 ＋ 6 x ＋ 3 ＝ 3( x ＋ 1) 2 ≥ 0 ， 本课时栏目开关 填一填 研一研 练一练 所以 f ( x ) 在 R 上为增函数，无极值，故舍去 . 当 a ＝ 2 ， b ＝ 9 时， f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 ＋ 12 x ＋ 9 ＝ 3( x ＋ 1 ) ( x ＋ 3 ) . 当 x ∈ ( － 3 ，－ 1) 时， f ( x ) 为减函数；当 x ∈ ( － ∞ ，－ 3) 和 ( － 1 ，＋ ∞ ) 时， f ( x ) 为增函数， 所以 f ( x ) 在 x ＝－ 1 时取得极小值，因此 a ＝ 2 ， b ＝ 9. 小结 ( 1) 利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点 处导数为 0 和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求 解 . ( 2) 因为 “ 导数值等于零 ” 不是 “ 此点为极值点 ” 的充要条件，所以利用待定系数法求 解 后，必须验证根的合理性 . 本课时栏目开关 填一填 研一研 练一练 跟踪训练 2 设 x ＝ 1 与 x ＝ 2 是函数 f ( x ) ＝ a l n x ＋ bx2＋ x 的两个极值点 . ( 1) 试确定常数 a 和 b 的值； ( 2) 判断 x ＝ 1 ， x ＝ 2 是函数 f ( x ) 的极大值点还是极小值点，并说明理由 . 解 ( 1 ) ∵ f ( x ) ＝ a ln x ＋ bx 2 ＋ x ， ∴ f ′ ( x ) ＝ ax ＋ 2 bx ＋ 1.。