第二章167111椭圆及其标准方程

第二章167111椭圆及其标准方程内容摘要：

x 236 ＋y 235 ＝ 1 ，在 y轴上时，方程为y 236 ＋x 235 ＝ 1. 答案： D 解： 依题意，可设椭圆 C 的方程为x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0) ，且可知左焦点为 F ′( － 2,0) ． 从而有 c ＝ 2 ，2 a ＝ | AF |＋ | AF ′| ＝ 3 ＋ 5 ＝ 8 ，解得 c ＝ 2 ，a ＝ 4. 又 a2＝ b2＋ c2，所以 b2＝ 12 ， 故椭圆 C 的标准方程为x216＋y212＝ 1. 2．已知椭圆 C经过点 A(2,3)，且点 F(2,0)为其右焦点，求 椭圆 C的标准方程． 解： 法一： 若焦点在 x 轴上，设椭圆方程为x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0) ， 依题意，有 4a2 ＝ 1 ，1a2 ＋34 b2 ＝ 1 ，解得 a2＝ 4 ， b2＝ 1. 3 ． 求焦点在坐标轴上，且过点 A (2,0) 和 B1 ， 32 的椭圆的标 准方程． 若焦点在 y 轴上，设椭圆方程为y2a2 ＋x2b2 ＝ 1( a b 0) ，同理 a2＝ 1 ，b2＝ 4 ，这与 a b 矛盾． 故所求椭圆方程为x24＋ y2＝ 1. 法二： 设椭圆的方程为 mx2＋ ny2＝ 1( m 0 ， n 0 ， m ≠ n ) ． 将 A ， B 坐标代入得 4 m ＝ 1 ，m ＋34n ＝ 1 ， 解得 m ＝14，n ＝ 1 ，故所求椭圆方程为x24＋ y2＝ 1. [ 例 2] 如图所示，已知椭圆的方程为x24＋y23＝ 1 ，若点 P 在椭圆上， F 1 ， F 2为椭圆的两个焦点，且 ∠ PF 1 F 2 ＝ 120176。 ，求 △ PF 1 F 2 的面积． [思路点拨 ] 因为 ∠ PF1F2＝ 120176。 ， |F1F2|＝ 2c，所以要求 S△ PF1F2，只要求 |PF1|即可．可由椭圆的定义 |PF1|＋ |PF2|＝ 2a，并结合余弦定理求解． [ 精解详析 ] 由已知 a ＝ 2 ， b ＝ 3 ， 所以 c ＝ a2－ b2＝ 1 ， | F1F2|＝ 2 c ＝ 2 ， 在 △ PF1F2中，由余弦定理得 | PF2|2＝ | PF1|2＋ | F1F2|2－ 2| PF1| | F1F2| cos 120176。 ， 即 | PF2|2＝ | PF1|2＋ 4 ＋ 2| PF1|. ①。