20xx北师大版选修2-1高中数学22空间向量的运算

20xx北师大版选修2-1高中数学22空间向量的运算内容摘要：

𝐶 𝐸 − 𝐴 𝐹 −12𝐹 𝐵 . ∴ 𝐶 𝐸 = 𝐶 𝐴 + 2 𝐴 𝐹 + 𝐹 𝐵 = 2 ( 𝑀 𝐴 + 𝐴 𝐹 + 𝐹 𝑁 ) = 2 𝑀 𝑁 , 即 𝐶 𝐸 = 2 𝑀 𝑁 . ∴ 𝐶 𝐸 ∥ 𝑀 𝑁 ,即 𝐶 𝐸 与 𝑀 𝑁 共线 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究七 反思 判定两向量共线就是找实数 x 使 a =x b ( b ≠ 0 ) .要充分运用空间向量的运算法则并结合空间图形 ,化简得出 a =x b ,从而得出 a ∥ b . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究七 空间向量的数量积 ① 零向量与任何向量的数量积为 0 , a a =| a |2. ② 数量积是数量 ( 数值 ), 可以为正 ,可以为负 ,也可以为零 . ③ a b 的几何意义 : a 与 b 的数量积等于 a 的长度 | a |与 b 在 a 的方向上的投影 | b | co s θ 的乘积 ,或 b 的长度 | b |与 a 在 b 的方向上的投影 | a | c o s θ 的乘积 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究七 【典型例题 4 】 如图 , 已知空间四边形 A B C D的每条边和对角线长都等于 a , 点 E , F , G 分别是AB , A D , DC 的中点 . 求下列向量的数量积 : ( 1 ) 𝐴 𝐵 𝐴 𝐶。 ( 2 ) 𝐴 𝐷 𝐵 𝐷。 ( 3 ) 𝐺 𝐹 𝐴 𝐶。 ( 4 ) 𝐸 𝐹 𝐵 𝐶 . 思路分析 :由于空间四边形 A B C D 的每条边和对角线长都等于 a ,所以△ ABC , △ A C D , △ A B D , △ B C D 均为正三角形 ,故 𝐴 𝐵 , 𝐴 𝐶 , 𝐴 𝐷 两两之间的夹角均为π3,再用数量积的定义求解即可 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究七 解 : ( 1 ) 在空间四边形 A B C D 中 , | 𝐴 𝐵 | = | 𝐴 𝐶 | = | 𝐵 𝐶 | = a , 所以 𝐴 𝐵 , 𝐴 𝐶 =π3. 所以 𝐴 𝐵 𝐴 𝐶 =a a co s π3=12a2. ( 2 ) | 𝐴 𝐷 | = a , | 𝐵 𝐷 | = a , 𝐴 𝐷 , 𝐵 𝐷 =π3, 所以 𝐴 𝐷 𝐵 𝐷 =a2co s π3=12a2. ( 3 ) | 𝐺 𝐹 |=12a , | 𝐴 𝐶 | = a , 又 𝐺 𝐹 ∥ 𝐴 𝐶 , 𝐺 𝐹 , 𝐴 𝐶 = π , 所以 𝐺 𝐹 𝐴 𝐶 =12a2co s π = 12a2. ( 4 ) | 𝐸 𝐹 |=12a , | 𝐵 𝐶 | = a , 又 𝐸 𝐹 , 𝐵 𝐶 = 𝐵 𝐶 , 𝐵 𝐷 =π3. 所以 𝐸 𝐹 𝐵 𝐶 =12a2co s π3=14a2. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究七 反思 求两个向量的数量积时 ,一般要保证向量之间的夹角已知或可求 ,最好是特殊角 ,然后利用定义求解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究七 利用数量积求两点间的距离 利用向量的数量积求两点间的距离 ,可以转化为求向量的模的问题 ,其基本思路是先选择以两点为端点的向量 ,将此向量表示为几个已知向量的和的形式 ,求出这几个已知向量的两两之间的夹角以 及它们的模 ,利用公式| a |= 𝑎 𝑎 求解即可 .特别注意要准确求解已知两向量之间的夹角大小 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究七 【典型例题 5 】 如图 , 在平行四边形 A B C D 中 , A B = A C = 1 , ∠ A C D= 90176。 ,将 △ A C D 沿对角线 AC 折起 , 使 AB 与 CD 成 60176。 角 , 求 B , D 间的距离 . 思路分析 :画出立体图 ,结合已知知识用长度与夹角均已知的向量表示出 : 𝐵 𝐷 = 𝐵 𝐴 + 𝐴 𝐶 + 𝐶 𝐷 ,而 𝐵 𝐴 与 𝐴 𝐶 , 𝐴 𝐶 与 𝐶 𝐷 , 𝐴 𝐵 与 𝐶 𝐷 的夹角及其模均易知 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究七 解 :如图 , ∵∠ A C D= 90176。 ,∴ 𝐴 𝐶 𝐶。