第三节空间曲线

第三节空间曲线内容摘要：

的基本向量、曲率、挠率。 的挠率 曲率 曲率半径为 则 在以原点为中心的 球面上的充要条件是 R{ ( 1 sin ) , ( 1 c o s ) , }( 0 )r a t a t b t a   : ( )r r t 0 0k   r     我们研究空间曲线在一点临近的形状。 在 类曲线 上取一点 ，为了研究点 临近的形状，在它临近再取一点 利用泰勒公式有 其中 3C ()r r s0()rs0()r s s0l i m 0s20 0 0 0301( ) ( ) ( ) ( ) ( )2!1( ( ) ) ( )3!r s s r s r s s r s sr s s       0()rs由于 所以 其中 而 等表示在点 的值。 ,r r k2( ) ,r k k k k k k k k                  20 0 0 0 0230 0 0 0 0 0 01( ) ( ) ( )2!1( ) ( ) ,6r s s r s s k sk k k s               1 0 2 0 30 0 0 0 0 0, , , , ,k           0()rs由上式可得 在 的每一个分量中只取第一项，则有 230 0 0 1 02 3 30 0 2 0 0 0 3 01( ) ( ) [ ( ) ( ) ]61 1 1[ ( ) ( ) ( ) ] [ ( ) ] ( )2 6 6r s s r s s k sk s k s k s                   0 0 0,  230 0 0 0 0 0 0 011( ) ( ) ( ) ( )26r s s r s s k s k s           现在取 为新坐标系，并取 为计算弧长的始点，则有 ，如果 为曲线上点 的临近点的新坐标，则有 0 0 0 0[ ( ) ]rs   ； ， ， 0()rs0 0s ss ,  0()rs200300,1( ) ,21,6sr s k sks 它可以看作在 点邻近，曲线 的近似方程。 由此看出，曲线在某点的曲率和挠率完全决定了曲线在该点邻近的近似形状。 0()rs ()r r s 下面我们通过曲线在基本三棱形的三个平面上的投影来观察曲线在一点邻近的形状。 近似曲线在法平面 上的投影是 消去参数 后有 它是半立方抛物线 s0 230 0 0110) , ,26k s k s     （223 0020 ) , ,9 k  （曲线在从切平面 上的投影是 消去参数 后，有 它是立方抛物线 0 30010) , , ,6s k s     （30010) , ,6k   （s曲线在密切平面 上的投影是 它是抛物线 0 2010) , ,2 k  （通过画出以上三个投影的立体图形就可以看出空间曲线在一点邻近的近似形状。 从以上分析可以看出： ，但不穿过从切平面。 ，这就是主法向量正向的真正意义。 时，曲线在 附近是右旋的；当。