大连理工大学数学分析考研手册精品

大连理工大学数学分析考研手册精品内容摘要：

（ 1） 又由 及 在连续，故对上述，存在 ，使得当 时 ，有. 联系（ 1）得 : 对任给的 ，存在 ，当 时有. 雪林雨荷，一生承诺。 26 / 218 《考研专业课高分资料》 这就证明了 在点 连续 . 注：根据连续性的定义，上述定理的结论可表示为 (2) 二 闭区间上连续函数的基本性质 前面我们研究了函数的局部性质，下面通过局部性质研究函数在闭区间上的整体性质。 定义 1 设 f为定义在数集 D上的函数，若存在 ，使得对一切有 ， 则称 f 在 D 上有最大（最小值）值，并称 为 f 在 D上的最大（最小值）值 . 例如 在 上有最大值 1,最小值 f 在定义域 D上不一定有最大值或最小值（即 使 f在 D上有界）。 如 在 上既无最雪林雨荷，一生承诺。 27 / 218 《考研专业课高分资料》 大 值 又 无 最 小 值 ， 又 如 (4)在闭区间上也无最大、最小值。 定理 ( 最 大 最 小 值 定 理 ) 若 函 数 在 闭 区 间 上连续，则 在闭区间 上有最 大值与最小值。 该定理及以后的定理 和定理 将在第七 部分 167。 2 给出证明 . 推论：（有界性）若函数 在闭区间 上连续，则在闭区间 上有界。 定理 (介值性定理 ) 若函数 在闭区间 上连续，且 ，若 为 介于之间的任何实数（ 或 ） ,则在开区间 内至少雪林雨荷，一生承诺。 28 / 218 《考研专业课高分资料》 存在一点 ，使得 : 推论（根的存在 定理）若函数 在闭区间 上连续，且 异号，则至少存在一点 使得 . 即 在内至少有一个实根 . 雪林雨荷，一生承诺。 29 / 218 《考研专业课高分资料》 应用介值性定理，还容易推得连续函数的下述性质：若 在区间 [a,b]上连续且不是常量函数 ,则值 域 也是一个区间；特别若 为区间 [a,b], 在 [a,b]上的最大值为 ,最小值为 ，则 ；又若 为 [a,b]上的增（减）连续 函 数 且 不 为 常 数 ， 则 例 3 证明：若 为正整数，则存在唯一正数 ，使得. 证明 先证存在性。 由于当 时有 ，故存在正数 ，使得 .因 在 上连续，并有，故有介值性定理，至少存在一点使得 . 雪林雨荷，一生承诺。 30 / 218 《考研专业课高分资料》 再 证 唯 一 性。 设 正 数 使得 由 于 第 二 个 括 号 内 的 数 为 正 所 以 只 能 ，即 . 例 4 设 在 [a,b] 连续，满足 （ 5） 证明：存在 ，使得 （ 6） 证 条件（ 5）意味着：对任何 有 ，特别有 以及 . 若 或 ，则取 ，从而（ 6）式成立。 现设 与。 令 ，则 ，. 由根的存在性定理，存在 ，使得 即 雪林雨荷，一生承诺。 31 / 218 《考研专业课高分资料》 . 三 反函数的连续性 定理 （反函数的连续性）若函数 在闭区间 严格递增（递减）且连续，则其反函数 在相应的定义域 （ ）上递增（递减）且连续。 证明 （只证明 f(x)严格递增情况）由闭区间上连续函数的介值性，反函数存在，而且其定义域为。 设 ，且 则 ，对任给的 可在 的两侧各取异于 的两点 （ ），使它们与 的距离小于 （参见上图） . 雪林雨荷，一生承诺。 32 / 218 《考研专业课高分资料》 设 ，由函 数的严 格递增 性， 必分别落在 的两侧，即当 时，令 ， 则当 时，对应的 的值必落在 之间，从而 . 应用单侧极限的定义，同样可证 在区间端点也是连续的。 四 一致连续性 前面介绍的函数 在某区间内的连续性，是指它在区间的每一点都连续。 这只反映函数在区间内每一点附近的局部性质，就是说连续定义中的 不仅与 有关，而且与 有关。 下面介绍的一致连续性，则是函数在区间上的整体性质，其定义中的 只与 有关，而与无关。 定义 2（一致连续性）设函数 在区间 I上有定义，若 只要 ， ，都有 ，则称 在区间 I 上一致连续。 这里要特别注意逐点连续与一致连续的区别。 直观的说 在区间 I一致连续意味着：不论两点 在 I 中处于什么位置只要它们的距离小于，就可使 . 显然 I 必然在 I 上每一点连续，雪林雨荷，一生承诺。 33 / 218 《考研专业课高分资料》 反之，结论不一定成立（参见例 9）。 定理 （一致连续性）若函数 在闭区间 上连续，则在 上一致连续。 167。 3 初等函数连续性 从前面两节知道基本初等函数中：常函数，三角函数，反三角函数，以及有理指数幂函数，都是定义 域上的连续函数 .本节将讨论指数函数、对数函数与实指数幂函数在其定义域内的连续性，以及初等函数在 其定义域内的连续性。 一 指数函数的连续性 在第一 部分 中，我们已定义了实指数的乘幂，并证明了指数函数 在 上是严格单调 的 .下面先把关于有理指数幂的一个重要性质推广到一般指数幂 ,然后证明指数函数的连续性。 定理 设 为任意实数 ,则有 . 证明 不妨设 ，则 由第一 部分 167。 3（ 6）式所定义，即 . 任给 ，设 为两个有理数，且 ，使得 . 由 的严格增递性，得 . 又有 ，故得 . 由任意性推出 . 为证相反的不等式 , 设 为有理数，且 ，使得 . 雪林雨荷，一生承诺。 34 / 218 《考研专业课高分资料》 再取有理数 使 , 则有 故得到 . 由任意性 推出 ,所以有 . (后一等式的证明留给读者 .) 定理 指数函数 在 R 上是连续的 . 证明 先设 .有第三 部分 167。 2例 4 知 这表明 在 连续 .现任取 .由定理 得 . 令 则当 时有 ,从而有 . 这证明了 在任一点 处连续 . 当 时 ,令 ,则有 ,而 可看作函数 与的复合，所以此时 亦在 上连续。 利用指数函数 的连续性，以及第三 部分 167。 5例 4中已证明的 可知 的值域为（ ） ( 时也是如此 ).于是 的反函数 — 对数函数 在其定义域 ( ) 内也连续 . . 二 初等函数的连续性 雪林雨荷，一生承诺。 35 / 218 《考研专业课高分资料》 由于幂函数 （ 为实数）可表为 ，它是函数 与 的复合，故有指数函数与对数函 数的连续性以及复合函数的连续性，推得幂函数 在其定义域（ ）上连续。 前面已经指出，常函数，三角函数，反三角函数都是定义域上的连续函数 .因此我们有下述定理： 定理 一切基本初等函数 都是定义域上的连续性函数 . 由于任何初等函数都是由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到 ,所以有： 定理 任何初等函数都是定义域上的连续性函数 . 第五 部分 导数与微分 167。 1 导数概念 速度和切线的例子虽然各有其特殊内容，但如果撇开它们具体的物理意义，单从数量关系上看它 们有共同的本质，两者都表示函数因变量随自变量变化的快慢程度，即都反映了函数的变化率 （ 3） 定义 设函数 在点 的某邻域内有定义，若极限 存在，则称函数 在点 可导，并称该极限为函数 在点 处的导数， 等 . 若上述极限不存在，则称 在点 不可导。 注：令 ， ，则（ 3）式可改写为 雪林雨荷，一生承诺。 36 / 218 《考研专业课高分资料》 （ 4） 所以，导数是 函数增量△ y 与自变量增量△ x 之比 的极限，这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率（又称差商），而导数 则为 在χ 0处关于 的变化率，它能够近似描绘函数 在点 附近的变化性态。 注：此公式对△χ = 0 仍旧成立。 利用有限增量公式，可得下面结论： 定理 1 若函数 在 处可导，则函数 在 处连续。 但是可导仅是连续的充分条件，而不是必要条件，比如：函数 在 处连续，但不可导。 （二）函数在一点的单侧导数 类似于函数在一点有左、右极限 , 对于定义在某个闭区间或半开区间上的函数，如果要讨论改函数在端点处的变化率时，就要对导数概念加以补充，引出单侧导数的概念。 定义 2 设函数 在点 的某右邻域 上有定义，若右极限 (0＜ ＜ 或 雪林雨荷，一生承诺。 37 / 218 《考研专业课高分资料》 ( 存在，则称该极限值为 在点 0 的右导数，记作 ，类似地，可定义左导数 右导数和左导数统称为单侧导数。 如同左、右极限与极限之间的关系，导数与单侧导数的关系是： 定理 若函数 在点 的某邻域内有定义，则 存在的充分必要条件是： 都存在，且 =。 说明：分段函数在分界点处讨论导数便是依据这一结论，通过左、右导数来判断该点是否存在导数及若存在应等于什么。 由定理 2， 连续函数不存在导数举例 函数 ， 处是焦点，不可导。 雪林雨荷，一生承诺。 38 / 218 《考研专业课高分资料》 在 处振荡，左右导数都不存在。 （三）导函数 若函数在区间 I 上每一点都可导（对区间端点，仅考虑相应的单侧导数），则称 为 I 上的可导函数。 此时对每一个χ∈ I，都有 的一个导数 （或单侧导数）与之对应，这样就定义了一个在 I上的函数，称为 在 I上的导函数，也简 称为导数，记作 等 . 即 . 说明： 1176。 区 间上的可导概念与连续一样，也是逐点定义的局部概念。 2176。 在物理学中导数 yˊ也常用牛顿记号 y` 表示，而记号 是莱布尼茨 首先引用的。 目前我们把 看作为一个整体，也可把它理解为 施加于 y 的求导运算，待到学过“微分”之后，将说明这个记号实际上是一个“商”，雪林雨荷，一生承诺。 39 / 218 《考研专业课高分资料》 相应于上述各种表示导数的形式， 三、导数的几何意义 我们已经知道 由导数的定义， ，所以曲线 在点 的切线方程是 （ 7） 这就是说：函数 在点 x0 的导数 是曲线 在点 （ x0， y0）处的切线斜率，若α 表示这条切线与 x 轴正向的夹角，则 =tanα 从而 ＞ 0 意味着切线与 x 轴正向的夹角为锐角； = 0 表示切线与 x 轴平行。 四、小结（可以师生共同总结，或教师引导学生小结，然后教师再条理一下） 本节课重点在于“导数”的定义，而函数。