本章主要介绍n阶行列式的定义、性质及其计算方法,最后介

本章主要介绍n阶行列式的定义、性质及其计算方法,最后介内容摘要：

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .n n ni i i i i n i n i i i n i i i nn n n n n n n n n n n na a a a a a a a aa a a a a a a a a a a aa a a a a a a a a          证明 12112( . . . )1...( 1 ) . . . ( ) . . .n i i nnp p pp i p i p n pp p pD a a a a   1 2 1 2111 2 1 2( . . . ) ( . . . )11. . . . . .( 1 ) . . . . . . ( 1 ) . . . . . .nn i n i nnnp p p p p pp i p n p p i p n pp p p p p pa a a a a a     性质 7 行列式某一行 (列 )的若干倍加到另一行 (列 )对应的元素上，行列式不变 , 即 1 1 1 2 1 1 1 1 2 11 2 1 21 2 1 1 2 21 2 1 2.. . .. ... . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. ... . .. ... . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. ... . .. ... . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. ... . .. .nni i in i i inj j jn j i j i jn inn n n n n n n na a a a a aa a a a a aa a a a k a a k a a k aa a a a a a   利用行列式的性子把行列式化为三角行列式 来计算行列式的值，是计算行列式的常用方法之一。 21170011004410223115433 )15(rrr4000110044102231154334317)(rrrr3330211700441022313223 5rrrr15150021170044102231324235rrrr7231401431252132)1(D131 3 2 21 2 5 30 1 4 42 3 1 7ccD   解 333044101350223114122rrrr33301350441022313r例 6 计算下列行列式 713244101350223112 rr21170015150041023143 rr= 60 3...11............1...311...13)2( nD解 3...11............1...312...22...21nnnDnrrrn3...11............1...311...11)2()2(1nnr2...00............0...201...11)2n(1n1312rr. . . . . .rrrr12)2(  nndcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcbaD3610363234232)3(解 cbabaacbabaacbabaadcbaDrrrrrr363023200233412baabacbabaadcbarrrr30020002334abaacbabaadcbarr0002000344abzaybyaxxbyaxbxazzbxazbzayybbzaybyaxzbyaxbxazybxazbzayxabzaybyxbyaxbxzbxazbzybaybyaxzaxbxazyazbzayxabzayyxbyaxxzbxazzybybyaxzxbxazyzbzayx22bzyxbyxzbxzybyaxzxazyzayxa 22 zyxyxzxzybyxzxzyzyxa 33 yxzxzyzyxbyxzxzyzyxa 33 yxzxzyzyxba )( 33 33()a x b y a y b z a z b x x y za y b z a z b x a x b y a b y z xa z b x a x b y a y b z z x y        证明 bzaybyaxbxazbyaxbxazbzaybxazbzaybyaxbzaybyaxbxbyaxbxazbzbxazbzaybybzaybyaxazbyaxbxazaybxazbzayax(4)证明 1 2 1 3 11 2 2 3 21 3 1 2 31 2 30000nnnn n na a aa a aD a a aa a a    解 例 7 设 n为奇数，且满足 aij＝－ aji(i,j＝ 1,2,… ,n)，求 D =|aij|的值。 1 2 1 3 11 2 2 3 21 3 1 2 31 2 300( 1 ) 00nnnnn n na a aa a aa a aa a a    =－ D 所以， D＝ 0。 作 业 习题 A 第 22页 9 167。 5 行列式展开定理 在 n阶行列式 D中 , 去掉元素 aij所在的第 i行和第 j列 , 留下来的 n－ 1阶行列式称为行列式 D的 (i, j)位置的余子式 , (也称为元素 aij的余子式 ), 记作 Mij， 称 Aij = (－ 1)i+j Mij 为D的 (i, j)位置的代数余子式或元素 aij的代数余子式。 例如 44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 中， M23= 444241343231141211aaaaaaaaa， A23=(－ 1)5M23=－ M23。 引理 若行列式 D的第 i行中只有元素 aij不为零 , 则 D等于 aij与其代数余子式的乘积 , 即 D= aij Aij。 证 先证 aij位于第 n行第 n列的情形，此时 1 1 1 2 1 ( 1 ) 12 1 2 2 2 ( 1 ) 2( 1 ) 1 ( 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )0 0 0nnnnn n n n n nnna a a aa a a aDa a a aa    121212( . . . )12...( 1 ) . . .n nnp p pp p n pp p pa a a1 2 11 2 11 2 1( . . . )1 2 1...( 1 ) . . .n。