第三章最佳逼近

第三章最佳逼近内容摘要：

010  cc从而得到最佳平方逼近一次多项式 xxp1 3 5882710)(1  三、正交基函数的选择 如果我们选择子空间 )}(,),(),({ 10 xxxsp a n n  正交，即 ),( ji jijidxxba i,0,0)(2 则法方程 ),(),(),()()()()()()()()()(1010,1,01,1,11,00,0,10,0nnnnnnnnfffccc 简化为 ),(),(),()(000)(000)(1010,1,10,0nnnnfffccc 即 nifciiii ,1,0),(),(   容易求得 nifciiii ,1,0,),(),(  并得到最佳平方逼近 nnn cccxp   1100)(niii xc0)( niiiii xf0)(),(),( 在区间 [1， 1]上两两正交，试求 在这个区间上的最佳平方逼近二次多项式，并给出误差估计。 xexf )( 例 . 已知 31)(,)(,1)( 2210  xxxxx 根据基函数的正交性，得到 解：以 作为基函数，设 )(),(),(210 xxx )()()()( 2211002 xcxcxcxp  ),(),(0000 fc ),(),(1111 fc 211111  eedxdxe x11211dxxdxxe x1 7 5 2 12 ee  e),(),(2222 fc 1122112)31()31(dxxdxex x 1422 ee)31(5 3 6 7 0 3 6 7 5 2 )( 22  xxxp从而求得   20111122 )()()(iii dxxxfcdxxf 误差为    1 1 221 111 101 1 2 )31( dxexcdxxecdxecdxe xxxx2421ee ee 11 7 5 2 2 e21 0 3 6 ee3 2 0 5 1 2 1 2 0 6 2 1 2 6 8  0 0 1 4 本节小结 1. 何为连续函数最佳平方逼近多项式。 bandxxffs panbaCxf)(},{],[)(2210  C[a,b] )( xf)( xp2. 如何计算连续函数的最佳平方 逼近 n次多项式。 3. 如何估计最佳平方 逼近 n次多项式的误差。 4. 练习：试求函数 在区间 [1, 3]上的最佳平方逼近一次多项式并估计误差。 xxf 1)( 5. 作业： page 79 31， 32， 33 167。 3 数据拟合的最小二乘法 当我们得到的实验数据是准确值时，可以用代数插值的方法，求出原函数的近似表达式。 经常由观察或测试可得到 的一组离散数据： )( xfy niyx ii ,2,1),(  但是，这组离散数据由观察或测试得到，往往并非完全精确，这时如果用插值的方法来逼近，效果就不会太好。 这时可以考虑用最小二乘法进行数据拟合，给出逼近曲线。 其特点是：所求的逼近曲线不一定经过这些离散点，但却尽可能的靠近原曲线。 最小二乘法拟合曲线 三次样条函数插值曲线 Lagrange插值曲线 一、 数据拟合最小二乘法的思想 miyx ii ,2,1,0),( 已知离散数据： 假设我们要拟合的函数为 ，将 带入则得函数值 ，由于 的不准确性，在每一个点都会产生一个误差： )(xf)(* ii xfy ixiyiii yxfyy  )(* .,2,1,0 mi 我们希望所求的 f(x),使得其在每一个 处所产生的误差 达最小。 ixnii ,2,1, 但这样分别考虑太困难，所以我们应考虑整体误差 miim02222212  miiimiii yxfyy0202* ])([)(应该使 miiimiiimiimyxfyy0202*02222212])([)( 整体达最小。 通过这种度量标准求得 拟合曲线 y=f(x)的方法，就称作 曲线拟合的最小二乘法。 按照以上思想来求出 f(x)的拟合曲线，首先需要确定出 f(x)所属的函数类，然后进一步求出具体函数，具体按照以下步骤进行。 二、 最小二乘法拟合曲线的步骤 第二步： 根据图示，确定曲线所属的函数类型，例 如多项式函数类、三角函数类、指数函数 类、对数函数类等。 假设所确定的函数类 的基函数为 第一步： 根据如下已知点的坐标，在坐标系里描点 miyx ii ,2,1,0),( },{ 10 nsp a n  则所求的函数可以表示为： njjj xcxf0)()( 只要确定了系数，就可以求出拟合曲线。 第三步： 其整体误差 所求的解应该使的上式达到极小，由极值原理应有： miiimiiimii yxfyy0202*022 ])([)(  minjiijj yxc020])([ 令：   minjiijjn yxccccI02010 ])([),( nkcIk,2,1,0,0 这样由 nkcIk,2,1,0,0   minjiijjn yxccccI02010 ])([),( 及 0)()(20 0。