第十单元立体几何

第十单元立体几何内容摘要：

, 11DF1MF 11DF 11BC1 1 1 112D F B C B M11BMFD1MF 1BD1FMA 1BD 1AF1CC 2 151 44AM   2 2 211 231 ( )22M F B D   21 151 44AF   15 3 5304 2 4c os1035224M F A  ∴ 方法二 :建立如图所示的空间直角坐标系 , 设 BC=CA= =2, ∴A(2,0,0),B(0,2,0), (0,0,2), (2,0,2), (0,2,2). ∵ 、 分别为 、 的中点 , ∴ (1,1,2), (1,0,2). ∴ =(1, 1,2), =(1,0,2), ∴ =(1, 1,2)(1,0,2)=3, , , ∴ 1CC1A1C1B1D 1F 11AB 11AC1D 1F1BD 1AF11BD AF21 1 1 2 6BD     21 1 2 5AF   113 3 3 0 3 0c o s ,3 0 1 065B D A F   题型三 直线与平面所成的角 【 例 3】 如图 ,在三棱锥 P ABC中 ,AB⊥BC,AB=BC= PA. 点 O、 D分别是 AC、 PC的中点 ,OP⊥ 底面 ABC. (1)求证 :OD∥ 平面 PAB。 (2)求直线 OD与平面 PBC所成角的正弦值 . 分析 （ 1）根据线面平行的判定定理 . （ 2）几何求法：找出或作出相应于平面 PBC的垂线、斜线和射影，作出线面角求解；向量法：建立空间直角坐标系，利用向量去解 . 12解 方法一 :(1)证明 :∵O 、 D分别为 AC、 PC的中点 ,∴OD∥PA. 又 PA 平面 PAB且 OD PAB, ∴OD∥ 平面 PAB. (2)∵AB⊥BC,OA=OC, ∴OA=OB=OC. 又 ∵ OP⊥ 平面 ABC,∴PA=PB=PC. 取 BC中点 E,连接 PE,则 BC⊥ 平面 POE, ∴ 平面 PB⊥ 平面 PDE， 作 OF⊥PE 于 F,连接 DF,则 OF⊥ 平面 PBC, ∴∠ODF 是 OD与平面 PBC所成的角 . 在 Rt△ ODF中 ,sin∠ODF=OFOD= , ∴OD 与平面 PBC所成角的正弦值为  2103021030方法二 :∵OP⊥ 平面 ABC,OA=OC,AB=BC, ∴OA⊥OB,OA⊥OP,OB⊥OP. 以 O为原点 ,射线 OP为非负 z轴 ,建立空间直角坐标系 O xyz(如图 ), 设 AB=a,则 A( a,0,0), B(0, a,0), C( a,0,0). 设 OP=h,则 P(0,0,h). (1)证明 :∵D 为 PC的中点 , ∴OD=( a,0, h). 又 =( a,0,h),∴ , ∴OD∥PA, ∴OD∥ 平面 PAB. 22222224 12PA 2212OD PA(2)设平面 PBC的一个法向量为 n=(x,y,z),易得 取 x=1时 ,n=(1,1, ), ∵ 设 OD与平面 PBC所成的角为 θ, ∴ ∴OD 与平面 PBC所成角的正弦值为 77210c os ,30OD nOD nOD n210s in c o s ,30O D n 21030学后反思 几何法是把空间角转化成平面角去解，求线面角要按照一作、二证、三计算的步骤进行 . 在用向量法求直线 OP与平面 α 所成的角时一般有两种途径： ①是直接求 ，其中 OP′ 为斜线 OP在 α 内的射影； ②是通过求 〈 n, 〉 进而转化求解，其中 n为平面 α 的法向量，此时应注意 OP与平面 α 所成角 θ 与 〈 n, 〉 的关系，它们互为余角 .注意最后完成转化 . ,39。 OP OPOPOP举一反三 3. 在正方体 中 ,E、 F分别为 与 AB的中点 ,求 与 截面 所成的角的正弦值 . 解析： 建立以 D为原点 ,DA,DC, 分别为 x,y,z轴的坐标系 ,设棱长为 1. 设平面 的法向量 n=(x,y,z), 则 n =0,n =0. ∵ =( 1, ,0), =(0, ,1), ∴ ∴ 令 y=2, ∴n=(1,2,1). 1AC 11DC 11AB1。