第23届全国中学生物理竞赛复赛试卷(编辑修改稿)

第23届全国中学生物理竞赛复赛试卷(编辑修改稿)内容摘要：

m 取值 不同而导致运动情形的不同进行讨论： （ i） A 0v=，即碰撞后小球 A停住，由（ 7）式可知发生这种运动的条件是 5 6 0Mm 即 65Mm （ 11） （ ii） A 0v，即碰撞后小球 A反方向运动，根据（ 7）式，发生这种运动的条件是 65Mm （ 12） （ iii） A 0v但 ACvv，即碰撞后小球 A 沿 0v 方向作匀速直线运动，但其速度小于小球 C的速度 ．由（ 7）式和（ 6）式，可知发生这种运动的条件是 5 6 0Mm和 mMM 654  即 6 65 m M m （ 13） （ iv） ACvv，即碰撞后小球 A仍沿 0v 方向运动，且其速度大于小球 C的速度，发生这种运动的条件是 6Mm （ 14） （ v） ACvv，即碰撞后小球 A 和小球 C以相同的速度一起沿 0v 方向运动，发生这种运动的条件是 6Mm （ 15） 在这种情形下，由于小球 B、 D 绕小球 C 作圆周运动，当细杆转过 180 时，小球 D 将从小球 A 的后面与小球 A 相遇，而发生第二次碰撞，碰后小球 A 继续沿 0v 方向运动．根据质心运动定理， C 球的速度要减小，碰后再也不可能发生第三次碰撞．这两次碰撞的时间间隔是 10  0056π π π6Mm llt M   vv （ 16） 从第一次碰撞到第二次碰撞，小球 C 走过的路程 C 2π3ldtv （ 17） 3．求第二次碰撞后，小球 A、 B、 C、 D 的速度 刚要发生第二次碰撞时，细杆已转过 180 ，这时，小球 B 的速度为 Dv ，小球 D的速度为 Bv ．在第二次碰撞过程中，质点组的动量守恒，角动量守恒和能量守恒 ．设 第二次刚碰撞后小球 A、 B、 C、 D 的速度分别为 Av 、 Bv 、 Cv 和 Dv ，并假定它们的方向都与 0v 的方向相同．注意到（ 1）、（ 2）、（ 3）式可得 0 A C3M M mv v v （ 18） CB02ml mlvv （ 19） 2 2 2 2 20 A B C D1 1 1 1 1+2 2 2 2 2M M m m     v v m v v v （ 20） 由杆的刚性条件有 D C C B   v v v v （ 21） （ 19）式的角动量参考点设在 刚 要发生第二次碰撞时与 D 球重合的空间点． 把（ 18）、（ 19）、（ 20）、（ 21）式与（ 1）、（ 2）、（ 3）、（ 4）式对比，可以看到它们除了小球 B 和 D互换之外是完全相同的．因此它们也有两个解 C 0v （ 22） 和 C0456MMm  vv （ 23） 对于由 B、 C、 D 三小球组成的系统，在受到 A 球的作用后，其质心的速度不可能保持不变，而 （ 23）式是第二次碰撞未发生时质心的速度，不合理，应该舍去．取（ 22）式时，可解得 A0 vv （ 24） B 0v （ 25） D 0v （ 26） （ 22）、（ 24）、（ 25）、（ 26）式表明第二次碰撞后， 小球 A以速度 0v 作匀速直线运动，即恢复到第一次碰撞前的运动，但已位于杆的前方，细杆和 小球 B、 C、 D则处于静止状态，即恢复到第一次碰 撞前的运动状态，但都向前移动了一段距离 2π3ld ，而且 小球 D 和 B 换了位置． 评分标准： 本题 25 分． 11 三、 参考解答： 由 kpV  ， 1 （ 1） 可知，当 V 增大时， p 将随之减小（当 V 减小时， p 将随之增大），在 pV 图上所对应的曲线（过状态 A）大致如图所示．在曲线上取体积与状态 B 的体积相同的状态 C． 现在设想气体从状态 A出发，保持叶片不动，而令活塞缓慢地向右移动，使气体膨胀，由状态 A 到达状态 C，在此过程中，外界对气体做功 11111 CAkW VV   （ 2） 用 UA、 UC分别表示气体处于状态 A、 C时的内能， 因为是绝热过程，所以内能的增量等于外界对气体做的功，即 11111CA CAkUU VV     （ 3） 再设想气体处于状态 C时 ，保持其体积不变，即保持活塞不动，令叶片以角速度 做 匀速转动，这样叶片就要克服气体阻力而做功 ，因为缸壁及活塞都是绝热的，题设缸内其它物体热容 量不计，活塞又不动（即活塞不做功），所以此功完全用来增加气体的内能．因为气体体积不变，所以它的温度和压强都会升高，最后令它到达状态 B．在这过程中叶片转动的时间用 t 表示，则在气体的状态从 C 到 B 的过程中，叶片克服气体阻力做功 W L t （ 4） 令 UB表示气体处于状态 B 时的内能，由热力学第一定律得 BCU U L t   （ 5） 由题知 1p LtV  （ 6） 由（ 4）、（ 5）、（ 6）式得  1BB C B CVU U p p   （ 7） （ 7）式加（ 3）式，得 p V A B C 0 12  111111BB A B C CAV kU U p p VV       （ 8） 利用 pV k 和 CBVV 得  1 1B A B B A AU U p V p V   （ 9） 评分标准： 本题 23 分． 四、参考解答： 答案： Du 如图 1 所示， Bu 如图 2 所示． uA 0 T t Bu 0 2T T 图 2 U U t T 2T 0 uDBDDA 图 1 U － U 13 ． 附参考解法： 二极管可以处在导通和截止两种不同的状态 .不管 D1和 D2处在什么状态，若在时刻 t， A 点的电压为 uA， D 点的电压为 uD， B 点的电压为 uB，电容器 C1两极板间的电压为 uC1，电容器 C2两极板间的电压为 uC2，则有 1D A Cu u u （ 1） 2BCuu （ 2） 11C A D qu u u C   （ 3） 22C B G qu u u C   （ 4） 式中 q1为 C1与 A 点连接的极板上的电荷量， q2为 C2 与 B 点连接的极板上的电荷量 . 若二极管 D1截止， D2 导通，则称电路处在状态 I. 当电路处在状态 I 时有 DBuu 0Du （ 5） 若二极管 D1 和 D2都截止，则称电路处在状态 II. 当电路处在状态 II 时有 DBuu 0Du （ 6） 若二极管 D1导通， D2截止，则称电路处在状态 III 时有 DBuu 0Du （ 7） 电路处在不同状态时的等效电路如图 3 所示 . 在 0t 到 2tT 时间间隔内， uD、 uB随时间 t 的变化情况分析如下： 1. 从 0t 起， uA 从 0 开始增大，电路处在 状态 ， C C2 与电源组成闭合回路 . 因 C C2 的电容相等，初始时两电容器都不带电，故有 1212C C Au u u C1 D1 C2 D uA G A B D2 C1 D1 C2 D uA G A B D2 C1 D1 C2 D uA G。