第二章实数理论(编辑修改稿)

第二章实数理论(编辑修改稿)内容摘要：

A, xb0+… bh} – h=1,…, k 1, bh+1是 Ah的上确界并且 xA满足x(n)=bn, n=0,…,h • 若 b0+… bk是 A的上界 ,令 b=b0+… 到了上确界 ,否则考虑整数集 Ak={x(k+1)|xA, xb0 +… bk} 其有上界 9, 设 bk+1为 Ak的上确界 ,则 xA满足x(h)=bh, h=1,…, k+1. 由归纳法就得到 25 实数的完备性 (III) • 3. 下列两种可能性之一必成立 : (1) A有有限小数上确界 b=b0+… bn。 (2) 得到 b: NZ, b(0) =b0Z, k0, b(k)=bk{0,…,9}, 有无限多个 bk 0, 满足 – xA, x(0)b0, xA满足 x(0)=b0。 – hN, Ah={x(h+1)| xA, xb0+… bh} – h N, bh+1是 Ah的上确界并且 xA满足 x(n)=bn, n=0,…,h 下面证明 , 由 b可以构造出 A的上确界 . 26 实数的完备性 (IV) • 4. 考虑两种情形 : (1) 存在 k0, nk, bk= 9, 如果 k1, bk1 9。 (2) 有无限多个 bk 9. 下面分别讨论这两种情况 : • 5. 假设 (1)成立 . 若 k=1, 令 b= b0+1 (为整数 )。 若k1, 取 b= b0+… bk1+k=1时的证明 , k1情形的证明留作习题 . • 由 xA, x(0)b0b=b(0)可得 b是 A的上界 . • 下面证明 b是 A的上确界 , 任取 cR, cb, 如果c(0)b0, 由 b0的定义 , xR有 x(0)=b0c(0),则xc. 如果 c(0)=b0, 由 m0, c(m)9. 由 b的定义 , xR,x(0)= b0,j=1,…,m, x(j)=9, 则 xc. 因此 b是 A的上确界 . 27 实数的完备性 (V) • 6. 假设 (2)成立 , 则 bR. 令 b=b. 首先说明 b是上界 . 用反证法 , 若 b不是 A的上界 ,则 xA, xb, 这就存在 k0, jk, x(j)=b(j)= bj, x(k)b(k)=bk,这与 bk的取法矛盾 . • 证明 b是 A的上确界 : 任取 cR, cb,则存在 k0, jk, c(j)=b(j)=bj, c(k)b(k)=bk,由 bk的取法 , x A满足 jk, x(j)=b(j)=bj, 由实数序的定义 , xc. 这就得到 b是 A的上确界 . • 这样实数的完备性就建立了 . 28 实数完备性的推论 • 实数集的下界和下确界 : –设 AR, A, 若 bR使得 aA, ab, 就称 b为 A的一个下界 , 并且说 A是下有界的 –设 bR是 AR的下界 , 如果 cb, aA, ac, 就称 b为 A的下确界 • 推论 1. R的非空有下界的子集必有下确界 . • 推论 2. R的非空子集的上确界和下确界是惟一的 (即至多只有一个 ). • 上述两个推论的证明留作习题 . 29 常用记号和名词 • 集合 A的上 ,下确界分别记为 sup A和 inf A, 有时也分别叫作 A的最小上界和最大下界 • 如果 sup AA, 称 sup A为 A的最大数 , 记 sup A为 max A。 类似地 , 当 inf AA时 , 称之为 A的最小数 , 记为 min A. • 当集合 A没有上界时 , 记 sup A=+ (或 ), 也说A的上确界是正无穷。 类似地 , 若集合 A无下界 , 记 inf A=,说 A的下确界是负无穷 • 如果 A上下都有界 , 就说 A是有界的 . 否则就说A无界 . 30 上确界的简单性质 • 设 A, B是 R的非空子集 . 则 • 1. 若 AB, 则 sup A  sup B。 • 2. 若 xA, yB满足 xy,则 sup A  sup B。 特别若 A={xa | aI}和 B={ya | aI}满足 xaya,则sup A  sup B。 • 3. xR, x=sup{sn(x) | nN}. 31 167。 7 实数的运算性质 • 加法定义 • 负元和减法 • 实数的符号和绝对值 • 乘法定义 • 倒数和除法 32 加法定义 • 定义 : 设 x,yR. 定义 x与 y的和为 x+y=sup{sn(x)+sn(y) | nN} • 这个定义是有意义的 : 集合 {sn(x)+sn(y) | nN} , 且有上界 [x]+[y]+2. • 当 x,yQ为有限小数时 , 上述加法与有理数的加法一致 . 33 负元和减法 • 负元。