自考经管类概率论与数理统计复习资料(编辑修改稿)

自考经管类概率论与数理统计复习资料(编辑修改稿)内容摘要：

二元函数极限可以验证， 在（ 0， 0）点不连续）； ， 当 时， ，所以 当 时，。 例 6. 设（ X， Y）服从在区域 D上的均匀分布，其中 D为 x轴、 y轴及 x+y=1所围成，求 X与 Y的协方差 Cov（ X,Y）。 解析：本题考核二维随机变量的均匀分布概念及协方差的计算（选自课本 P106，例 4－ 29）。 解：可以求出区域 D的面积为 ，所以服从均匀分布的二维随机变量的概率密度为 ， 又 所以 例 7. 已知随机变量 X， Y的相关系数为 ，若 U=aX+b, V=cY+d, 其中 ac0. 试求 U， V的相关系数。 解析：本题考察协方差及相关系数的概念及性质。 解：根据相关系数的定义有 ， 又由方差的性质有 再由协方差的性质有 由已知， b， c， d为常数， Y为随机变量，则应用协方差的计算公式有 所以 ， 其中， ，计算同上。 因此， ，因为 ，所以。 拓展：本题 U与 X， V与 Y均为正线性相关或负线性相关（即表示为斜率同为正或同为负的一次函数），得到 ，即两对随机变量之间的相互关系程度是相同的。 例 ，且 X与 Y相互独立，则 ＝ ____________。 答案： 0 专题四 大数定律及中心极限定理 近几年试题的考点分布和分数分布 最低分数分布 最高分数分布 平均分数分布 切比雪夫 不等式 2 大数定律 中心极限 定理 2 合计 0/100 4/100 1/100 一、切比雪夫不等式 ：随机变量 ，则对任意给定的 ，总有。 二、大数定律 （ 1）贝努利大数定律：设 m是 n独立重复试验中事件 A发生的次数 ，则对任意给定的 ，总有 （ 2）切比雪夫大数定律：随机变量序列 相互独立且具有有限的期望 和方差 ，则对任意给定的 ，总有 三、中心极限定理 （ 1）独立同分布序列中心极限定理：随机变量 ,相互独立，服从相同的分布且具有期望 和方差 ，则对随机变量 的分布函数 及任意 x，总有 （ 2）两个结论 ① 定理说明，当 n充分大时，不论独立同分布随机变量服从什么分布，其和近似服从正态分布； ② 定理说明：当 n充分大时，不论独 立同分布随机变量服从什么分布，其平均值。 （ 3）棣莫佛 ―― 拉普拉斯中心极限定理 设随机变量 是 n次独立重复试验中事件 A发生的次数， P是事件 A发生的 A发生的的概率，则对任意实数 x III. 典型例题 例 1 设随机变量 X的方差 DX存在，且 A. B. C. D. 答案： C 例 ， „ 独立同分布，且 ， i＝ 1， 2， „ ，则对任意实数 x,。 答案： 例 3. 设 是 n次独立重复试验中事件 A出现的次数， P是事件 A在每次试验中发生的概率，则对于任意的 ，均有 （ ） A.=0 B.=1 C.0 答案： A 解析：本题考核贝努利大数定律。 本题考核课本第五章大数定律及中心极限定理的内容，理论性比较强，学习起来比较困难。 简单总结如下： 内容：一个不等式，两个大数定律，两个中心极限定理，其中，贝努利大数定律从理论上解决大量重复随机试验中频率稳定于概率的问题，独立同分布的切比雪夫大数定律从理论上解决了平均结果稳定于均值的问题；而两个中心极限定理从理论上解决了大量重复随机试验近似服从正态分布的统计规律。 根据贝努利大数定律（课本 P118）的结论，。 第二部分 数理统计部分 专题一 统计量及抽样的分布 近几年试题的考点分布和分数分布 最高分数分布 最低分数分布 平均分数分布 样本的分布 2 1 样本矩 2 1 合计 4/100 0/100 2/100 一、总体与样本 ：所考察对象的全体称为总体；组成总体的每个基本元素称为个体。 ：从总体中随机抽取 n个个体 x1,x2„,x n称为总体的一个样本，个数 n称为样本容量。 如果总体 X的样本 x1,x2„,x n满足：（ 1） x1与 X有相同分布， i＝ 1， 2， „ ， n；（ 2） x1,x2„,x n相互独立，则称该样本为简单随机样本，简称样本。 得到简单随机样本的 方法称为简单随机抽样方法。 （ 1）联合分布函数：设总体 X的分布函数为 F（ x）， x1,x2„,x n为该总体的一个样本，则联合分布函数为 二、统计量及其分布 、抽样分布 ：设 x1,x2„,x n为取自某总体的样本，若样本函数 T=T（ x1,x2„,x n）不含任何未知参数，则称 T为统计量；统计量的分布称为抽样分布。 ： 设 x1,x2„,x n为取自某总体 X的样本， （ 2）样本均值的性质： ① 若称样本的数据与样本均值的差为偏差，则样本偏差之和为零，即 ② 偏差平方和最小，即对任意常数 C，函数 时取得最小值 . （ 5）样本矩 （ 7）正态分布的抽样分布 的 为自由度为 n的 X2分布的 α 分位点 .求法：反查 X 2分布表 . [答疑编号 918020201] 答案： D [答疑编号 918020202] 答案： [答疑编号 918020203] 答案： B [答疑编号 918020204] 答案： 1 [答疑 编号 918020205] 答案： B [答疑编号 918020206] 解析： 故填 20. [答疑编号 918020207] 答案： n 解析： [答疑编号 918020208] 答案： 解析：本题考核正态分布的叠加原理和 x2－分布的概念。 根据课本 P82，例题 3－ 28 的结果，若 X～ N（ 0， 1）， Y～ N（ 0,1） ,且 X与 Y相互独立，则 X＋ Y～ N（ 0＋ 0， 1＋ 1）＝ N（ 0， 2）。 本题，已知 X X X X4为来自总体 X～ N（ 0， 1）的样本，所以 X XX X4相互独立且服从同分布 N（ 0， 1），则 X1+X2～ N（ 0， 2）， X3+X4～ N（ 0， 2）；从而， ,则下列选项中正确的是（ ） [答疑编号 918020209] 答案： A 解析：本题考察课本 p140，。 记忆内容。 专题二 参数估计 近几年试题的考点分布和分数分布 最高分数分布 最低分数分布 平均分数分布 点估价 2, 2 6 2 评价标准 2 区间估计 10 6 合计 14/100 6/100 10/100 一、参数的点估计 ： （ 1）参数： ① 分布中所含有未知参数 θ （ θ 可以是向量）； ② 分布中所含有未知参数 θ 的函数； ③ 其他数字特征的未知值。 （ 1）矩法（数字特征法）： ： ① 用样本矩作为总体矩的估计值； ② 用样本矩的函数作为总体矩的函数的估计值。 ：同 A。 （ 2）极大似然估计法 ：把一次试验所出现的结果视为所有可能结果中概率最大的结果，用它来求出参数的最大值作为估计 值。 二、参数的区间估计 设 θ 为总体的一个未知参数， 由样本 确定的两个统计量，若对于给定的概率 有 则称随机区间为参数 θ 的置信度为 置信区间，并称 为置信度（置信水平）， ： θ 的置信度为 的置信区间 指的是 θ 包含在区间 的概率为 100（ 1α ）％ . （ 1）样本容量 n固定，置信度 1α 增大，置信区间长度增大，区间估计精度降低； 1α 减小，区间长度减小，区间估计精度提高； （ 2）置信度 1α 固定，样本容量 n 增大，区间长度减小，估计精度提高。 （ p162，表 7－ 1）略。 例 [答疑编 号 918020200] 答案： 1 例 X为指数分布，其密度函数为 是样本，故 [答疑编号 918020201] 答案： 解析：本题主要考核指数分布的数字特征及矩法估计。 若指数分布的概率密度为 本题总体 X密度函数为 是样本，由矩法估计有 例 为来自总体 的样本， 无偏估计是（ ） [答疑编号 918020202] 答案： A 解析：本题考察的是课本 p153例 7－ 14的一个说明，即 是总体方差的无偏估计。 本人在面授讲课中曾经证明过。 例 X服从参数为 的指数分布，其概率密度为 由来自总体 X的一个样本 [答疑编号 918020203] 答案： 解析：本题考察指数分布的概念：设总体 X服从参数为 的指数分布，则其数学期望 例 为来自总体 X 的样本，则当 α ＝ ______时， [答疑编号 918020204] 答案： 1/4 例 来自正态总体 容量为 100的简单随机样本，得样本均值为 10，则未知参数 μ 的置信度为 ______. [答疑编号 918020205] 答案： [， ] 解析：本题考核区间估计内容。 本题属于 “ 单正态总体、方差已知，均值的区间估计 ” 问题，置信度为 1－ α 的置信区间为 由已知， 所以，所求区间为 [10－ ， 10＋ ]。 例 ，每瓶维生素 C的含量为随机变量 X（单位： mg），设 X～ N（ μ,σ 2），其中 μ,σ 2均未知。 现抽查 16瓶罐头进行测试，测得维生素 C的平均含量为 ，样本标准差为 ，试求 μ 的置信度 95％的置信区间 . [答疑编号 918020206] 解析：本题为区间估计的应用题。 解：由条件知，本题为单正态总体 X～ N（ μ,σ 2）方差 σ 2未知，求均值 μ 置信度为 95％的置信区间。 为此 选择统计量 通过推导可得，置信度为 1－ α 均值 μ 的置信区间为 由已知 带入上式得 计算得所求置信区间为 [, ]. 例 X（单位： cm）服从正态分布 N（ μ,σ 2），从该车床加工的零件中随机抽取 4个，测得样本方差 试求：总体方差 σ 2的置信度为 95％的置信区间 . （附： [答疑编号 918020207] 答案： 解析：本题是正态总体，均值未知，总体方差的区间估计。 解：由已知， 置信度 1－ α ＝ 95％，取样本方差 s2为总体方差 σ 2的点估计，选择估计函数 从而得到 σ 2的 1－ α 置信区间为 查 带入数值分别计算得 因此，所求的置信区间为 [， ]. 专题三 假设检验 最低分数分布 最高分数分布 平均分数分布 两类错误 ② 1 检验统计量 ② ， 2 2 均值检验 8 3 方差检验 2 合计 4/100 10/100 8/100 一、假设检验问题 假设检验的理论根据是 “ 小概率 ” 原理，即小概率事件在一次试验中几乎不可能发生，所以，在一次试验中发生的事件（抽出的一个样本）可以认为是 “ 大概率 ” 事件，对所检验的总体的概率分布具有代表性，因此，可以在一定。