浅谈中学数学分类讨论的问题及教学策略毕业论文(编辑修改稿)

浅谈中学数学分类讨论的问题及教学策略毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

①或  202tt ② 解①得 02  t ，解②得 0t ，所以 2t。 于是 2)( af ，此等价于  2,02 aaa ③ 或   2,02aa ④ ，解③得 0a ，解④得 20 a ,所以2a . 例 2.（ 2020 湖北卷） )(xf 是定义在 R 上的奇函数，当 0x 时，)32(21)( 222 aaxaxxf 。 若 )()1(, xfxfRx  ， 则实数 a 的取值范围为（ ）  61,61A  66,66B  31,31C  33,33D 分析：本题考查分段函数、函数的奇偶性、函数的图像、不等式恒成立问题、一元一次不等式以及分类讨论、数形结合、转化与化归的数学思想，难度较大。 解：因为当 0x 时， )32(21)( 222 aaxaxxf  , 所以当 20 ax  时， xaxaxaxf  )32(21)( 222 ； 当 22 2axa  时， )32(21)( 222 axaaxxf  ； 当 2ax 时， 23)( axxf  ，综上，2222222,32,0,)(axaxaxaaaxxxf 因此，根据奇函数的图像关于原点对称作出函数 在 R 上的大致图像，观察图像可知，要使 )()1(, xfxfRx  ,则需满足 1)4(2 22  aa ，解得 6666  x. 例 3.（ 2020 上海卷） a 为实常数， )(xfy  是定义在 R 上的奇函数，当 0x 时，79)( 2  xaxxf .若 1)(  axf 对一切 0x 成立，则 a 的取值范围为 ________ 分析：本题考查函数的奇偶性及函数不等式的求解问题，其中运用了分类讨论思想，难度中等。 解： )(xfy  是定义在 R 上的奇函数， )()( xfxf  ，且当 0x 时， 0)0( f ，此时由 1)( axf 得 10 a ，解得 1a ，当 0x 时，79)()( 2  xaxxfxf ，此时由 1)(  axf 得 179 2  axax ，由此不等式恒成立及 axaxxax 692922  ,（当且仅当 ax 3 时等号成立）可得86  aa ，结合 1a ，可得 86  aa ，解得 78a ，综上得 a 的取值范围为  78, . 例 4.（ 2020 北京卷） 22)(),3)(2()(  xxgmxmxmxf ,若同时满足条件： ① 0)(或0)(,  xgxfRx ② 0)()(),4,(  xgxfx 则 m 的取值范围是 ________ 析：本题考查一元二次不等式的解法、方程根的分布及数形结合与分类讨论思想的运用，考查学生的综合分析与转化能力，难度较大。 解：由于当 1x 时， 022)(  xxg ；当 1x 时， 0)( xg ，故据题意得只需当 1x时， 0)3)(2()(  mxmxmxf 即可，当 0m 时，二次函数开口方向向上，不符合 1x 时， 0)( xf ，故必有 0m ，结合二次函数图像只需两根3,2 21  mxmx 满足0131221mmxmx 即可，解得 04  m ，对于条件②，由于 0)(,4  xgx ，故只需当 4x 时， x 使得 0)3)(2()(  mxmxmxf即可，此时应使得 4 比方程两根 3,2 21  mxmx 中的小根大即可，当 01  m时，只需 43  m ，解得 1m ，不符合条件舍去；当 1m , 221  xx 不符合题意，当 42,1  mm ,解得 2m ，综上得： m 的取值范围是 24  m . 分类讨论思想在导数中的应用 一般来说，此类题目所占分值较大，常出现在高考压轴题，难度普遍较大。 此类题目一般可以分为两类，含参变量和不含参变量。 含参变量题目难度一般较大。 例 1.（ 2020 年北京卷）  2,0,sincos)( xxxxxf （ 1）求证： 0)( xf （ 2） 若 bx xa  sin 对 )2,0( x 恒成立，求 a 的最大值与 b 的最小值 . 分析：第一问很简单，考生很容易做出来。 第二问有点难度，要进行分类讨论。 解：（ 2）当 0x 时， x xa sin 等价于 0sin  axx ， bx x sin 等价于 0sin  bxx 令 cxxxg  sin)( 则 cxxg  cos)( 当 0c 时， 0)( xg 对任意 )2,0( x 恒成立。 当 1c 时，对任意 )2,0( x ， 0cos)(  cxxg ， 所以 )(xg 在区间  2,0上单调递减。 从而 0)0()(  gxg 对任意 )2,0( x 恒成立。 当 10 c 时，存在唯一的 )2,0(0 x，使得 0cos)( 00  cxxg 因为 )(xg 在区间  0,0x 上是增函数，所以 0)0(）( 0  gxg ，进一步， “ 0)( xg 对任意)2,0( x 恒成立” ，当且仅当 021)2(  cg  ，即 20  c . 综上所述，当且仅当 2c 时， 0)( xg 对任意 )2,0( x 恒成立。 当且仅当 1c 时， 0)( xg 对任意 )2,0( x 恒成立。 所以， 若 bx xa  sin 对 )2,0( x 恒成立 ，则 a 的最大值为 2 ， b 的最小值为 1. 例 2.（ 2020 年浙江卷） )(3)( 3 Raaxxxf  （ 1） 若 ）(xf 在   上的最大值和最小值分别记为 ),(),( amaM 求 ）()( amaM  ； （ 2） 设 Rb . 若   4)( 2  bxf 对  1,1x 恒成立 ，求 ba3 的取值范围。 分析：本题主要考查函数的最大 (最小 )值的概念、利用导数研究函数的单调性等基础知识，同时考查推理论证、分类讨论（多级分类讨论）、分析问题和解决问题等综合解题能力。 解 ：（ 1 ）因  axaxx axaxxxf ,33 ,33)( 33 ， 所以  axx axxxf ,33 ,33)( 22 由于11  x ， （ i） 当 1a 时，有 ax ，故 axxxf 33）( 3  ，此时 )(xf 在  1,1 上是增函数，因此， afaM 34)1(）(  ， afam 34)1()(  ， 所以 8)()(  amaM . （ ii） 当 11  a 时，若 )1,(ax  ， axxxf 33)( 3  ，在 )1,(a 上是增函数； 若 ),1( ax  ， axxxf 33)( 3  ，在 ),1(a 上 是 减 函 数。 所以 )1(),1(max)(  ffaM ， 3）()( aafam  .由于 26)1()1(  aff ，因此当311  a 时， 43)()( 3  aaamaM ，当 131 a 时，23)()( 3  aaamaM （ iii） 当 1a 时，有 ax ，故 axxxf 33)( 3  ，此时 )(xf 在  1,1 上是减函数，因此 4)1()1()()(  ffamaM . 综上得：1,4131,23311,431,8)()(33aaaaaaaaamaM。