数列综合题习题课毕业论文(编辑修改稿)

数列综合题习题课毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

数列综合题习题课 第 9 页 共 36 页 第二讲： 数列的求和 授课题目 数列求和 课型 习题课 年级 高三 教学目标 知识与技能 熟悉各种求和方法的定义以及运用的条件，能熟练地运用各种求和方法来求数列的和 . 过程与方法 通过对数列的各种求和公式的运用来培养学生归纳、分类讨论、迁移的能力 . 情感、态度与价值观 在解决实际问题的过程中，体会如何去分析问题、解决问题，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的综合能力 . 学情分析 在本节课之前学生已经 学习了各种求和公式的推导以及主要的求和思想，本节是对学生能否用已学知识来解决问题的一次考查。 通过上节的讲 解与练习，学生们已经对等差等比数列的基础知识相当熟悉，各种思想方法也得到了一次训练，对于数列求和，因为有很多方法，致使学生在解题时不知道用哪种方法，所以本文从最基本的求和方法开始讲解，层层递进地介绍了包括 错位相减法 、 倒序相加法 、 裂项相消法 、 并项转化法 的相关应用，符合学生的认知规律 . 教学重点与难点 会用各种求和方法进行求和，理解公式法求和，错位相减法求和，倒序相加法求和，裂项相消法求和，并项转化法求和的基本思想以及会灵活运用 . 教学方法 讲授法 教具 粉笔、直尺 公式法求和 数列综合题习题课 第 10 页 共 36 页 方法引导： 所 谓公式法，就是直接应用等差数列、等比数列的求和公式，以及正整数的平方和公式、立方和公式等公式求解。 而我们常用的几个求和公式如下： （ 1）    2 2 2 2 11 2 3 1 2 1 .6n n n n        （ 2）   23 3 3 3 211 2 3 1 .4n n n      （ 3） 0 1 2 n n nC C C C     熟练这些公式，是能求出数列前 n 项和的保障。 所以公式的记忆是很重要的。 例 1 已知函数    2 2 *( ) 2 1 5 7 .f x x n x n n n N       （ 1）若函数 ()fx的图像的顶点的横坐标构成数列 na ，试证明数列 na 是等差数列； （ 2）设函数 ()fx的图像的顶点到 x 轴的距离构成数列 nb ，试求数列 nb 的前 n 项和nS。 选题意图： 此题是在数列的知识框里镶上了函数知识，两类知识结合的天衣无缝，即考查了数列求和的知识，又考查了函数的最值点等相关知识。 这种结合在数列综合题问题的考查中时有发生，属于常规考法，比较典型。 解析： 首先分析问题 ,对于第一问说 na 是由 函数 ()fx的图像的顶点的横坐标构成的，这里充分的利用了数列的函数特点，成功地将数列问题“嫁接 ”在了我们已经非常熟悉的一元二次方程的“树干”上，这类题型在高考中很是常见，只要学生们能从熟悉的知识入手，从而联想到一个可行的解决方案，那么接下来的事，就水到渠成了。 接着看，既然说 na 是由 函数 ()fx的图像的顶点的横坐标构成的，所以我们要看看 ()fx的顶点横坐标是什么。 由     222( ) 2 1 5 7 1 3 8 .f x x n x n n x n n          （这里还可以直 数列综合题习题课 第 11 页 共 36 页 接用对称轴为 12  nabx ），于是 可得 1nan，我们知道题目是要我们证数列 na是等差数列，这里只要考虑一下等差数列通项的特征，就能立即得到结果，当然如果你不放心，也可以检验相邻两项的关系， 即    1 1 1 1 1nna a n n       ，隐藏的等差数列终于暴露出来了，到此就证明了数列 na 是等差数列。 而对于第二个问题，又出现了另一个数列 nb ，其实只要对第一问很熟悉，我们自己都可以“猜测”到第二问的问题，一个框架，造出来的楼也是很相似的，由上面的分析可得 3 很显然下一步我们要去掉绝对值，于是 当 12n时， 38nbn  ，数列 nb 为等差数列， 1 5b ，由公式  21n naanS , ∴   25 3 8 3 1322n nn nnS  ； 当 3n 时， 38nbn，数列 nb 是等差数列，这里的首项是 3 1b ，共有 2n 项， ∴     22 2 1 3 8 3 13 2822n nn nnSS       ∴223 13 , 1 22 .3 13 28 ,32nnn nS nnn     到 此问题就全部解决了。 从某种意义上说，这里我们只是再认了一个由旧问题“乔装打扮”而成的新问题而已，需要提醒的是用等差数列或等比数列的求和公式时，一定要看清数列的哪些项构成等差数列或等比数列。 在第（ 2）问的求解中， 12n或 3n 时，都可以用等差数列的前 n 项和公式，但当 12n时，不要误求为数列的前 2 项和；当 3n 时，数列的首项为 3b ，项数为 2n ，不要误求为 n 项的和，也不要误求为 3n 项的和。 数列综合题习题课 第 12 页 共 36 页 能力考察： 已知数列 na 是首项为 1 4a ，公比为 1q 的等比数列， nS 是其前 n 项和，且 1 5 34 , , 2a a a 成等差数列。 （ 1）求公比 q ； （ 2）设 12nnA S S S   ，求 .nA 错位相减法求和 方法引导： 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的，此时可把式子 12nnS a a a   的两边同乘以公比 q ，得到1 2 2 3n n n nq S a q a q a q a a a q a           ，两式错位相减整理即可求出 nS。 利用错位相减法求和是一种非常重要的求和方法，这种方法的计算过程较为复杂，对计算能力的要求较高，应加强训练，并注意通过训练，掌握在错位相减过程中几个容易出错的环节。 下面就来看看错位相减法求和是怎么一回事。 例 2 已知数列 na 是首项、公比都为  0, 1q q q的等比数列， *4lo gn n nb a a n N. （ 1）当 5q 时，求数列 nb 的前 n 项和 nS （ 2）当 1415q 时，若 1nnbb ，求 n 的最小值。 选题意图： 从  *4lo gn n nb a a n N一看便知，此题是借着对数模型发挥，综合考查学生对于 nb 与 nS 之间的关系的理解、错位相减法的应用、以及比较大小的处理方法。 构造简单，思路也很明显，对于大多数同学来说，容易接受。 也希望通过此题让同学们类比函数模型与数列结合这一类问题的解题思路。 解析： 数列综合题习题课 第 13 页 共 36 页 等差数列、等比数列的求和，对于我们来说是很 容易的，毕竟我们有现成的公式可以套用，那么如果把等差与等比数列糅合在一起，导致项与项之间没有了明显的关系，你还能作出来吗。 错位相减法，就是为了培养和训练学生的“创造”思想的。 依然分析一下问题，第一问想求 数列 nb 的前 n 项和 nS ，想求 nS ，就得求 nb ，想求 nb 就得求na ，这里依然遵循“从基本的想法试下去”这一原则，所以 由题得 nnaq , ∴ 4 4 4l o g l o g 5 l o g 5n n nn n nb a a q q n      , ∴  2 41 5 2 5 5 l o g 5nnSn      ， 要求出 nS ,关键是求出 nn 55251 2  . 故可设 21 5 2 5 5 nnTn      ，①（这里出现了运用错位相减法的时机） 故  2 3 15 1 5 2 5 1 5 5nnnT n n          ，② 于是由①  ②得  2 3 1 15 5 14 5 5 5 5 5 54nn n nnT n n            ∴    4554 5 5 1 , 4 5 5 1 l o g 51 6 1 6n n n nnnT n S n        到此第一问运用错位相减法就解决了。 而第二问是解不等式 1nnbb ，对于解不等式，我们常常能想到是作差和相除，不妨我们尝试一下相除， ∵441 4 1 4l o g l o g ,1 5 1 5nn n nb a a n   数列综合题习题课 第 14 页 共 36 页 ∴   0114 151514l o g151411514l o g15144141  nnnnbbnnnn ，于是 14n ，即取 15n 时，1nnbb。 当然也可通过作差的方法，建立关于 n 的不等式，求出 n 的取值范围， 即 ∵441 4 1 4l o g l o g ,1 5 1 5nn n nb a a n   ∴   11 4 4 41 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 41 l o g l o g l o g 01 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5n n nnn nb b n n                            ， 此处 的式子乍一看很复杂，其实仔细分析一下就变成了 14 015 15n的样子。 ∴ 14n ，即取 15n 时， 1nnbb 故所求的 n 的最小值是 15，结论与上所求一致。 此类问题应该从整体进行观察、分析、处理，从全局把握条件与结论间的联系，抓住问题的本质，使问题变得简洁、明晰，从中发现解决问题的办法，即“整体 化策略”。 能力考察： 已知函数 ()fx满足 ( ) ( ) ( )f x y f x f y  且 1(1) 2f  （ 1）当 *nN 时，求 ()fn的表达式； （ 2）设 *( ),na n f n n N  ，求证： 1 2 3 2na a a a    ； （ 3）设   *( 1 )9 , ,()nnfnb n n N Sfn  为 nb 的前 n 项和，当 nS 最大时，求 n 的值。 数列求和的其他方法 方法引导： 数列求和的方法有很多，这里再重点说说倒序相加法、裂项相消法、并项转化法这三种方法。 所谓倒序相加法即如果一个数列 na ，与首末两项等距离的两项 数列综合题习题课 第 15 页 共 36 页 之和等于首末两项之和，可采用把正着写 和倒着写的两个式子相加，就得到一个常数列的和，进而求出数列的前 n 项和。 当然运用倒序相加法求和具有一定的局限性，只有与首尾两项等距离的两项之和是常数时才可以用。 而裂项相消法就是把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前 n 项和变成首尾若干少数项之和，从而求出数列的前 n 项和。 这里列举了一些常用的裂项技巧： （ 1）  1 1 1 1n n k k n n k （ 2）  11 n k nkn k n    （ 3）    1 1 1 12 1 2 1 2 2 1 2 1n n n n    （ 4）          1 1 1 11 2 2 1 1 2n n n n n n n     （ 5） 1 1m m mn n nC C C  （ 6）  ! 1 ! !n n n n    最后看看并项转化法，即在求数列的前 n 项和时，如果一个数列的项是正负交错的，尤其是当各项的绝对值又构成等。