高中数学三角变换与解三角形(编辑修改稿)

高中数学三角变换与解三角形(编辑修改稿)内容摘要：

湖南路 1 号 B 座 808 室 联系电话： 02583657815 Mail： ∴ cosB＝ a2＋ c2－ b22ac ＝－ac2ac＝－12， ∵ 0＜ B＜ π， ∴ B＝2π3 . (2) ∵ B＝ 2π3 ， ∴ 最长边为 b， ∵ sinC＝ 2sinA， ∴ c＝ 2a， ∴ a 为最小边，由余弦定理得 ( 7)2＝ a2＋ 4a2－ 2a2a － 12 ，解得 a2＝ 1， ∴ a＝ 1，即最小边边长为 1. 基础训练 1. 6 解析： sin2αcos2α＝ 2tanα. 2. － 45 解析： cos α－ π6 ＋ sinα＝ 45 3化为 32 cosα＋ 12sinα＋ sinα＝ 4 35 ， 3sin α＋ π6 ＝4 35 ， sin α＋ π6 ＝ 45. 3. 3π4 解析： tanB＝ tan(π－ A－ C)＝－ tan(A＋ C)＝－ tanA＋ tanC1－ tanAtanC＝－ 1. 4. 2 解析：由正弦定理得 BCsinA＝ ACsinB， 1sinA＝ ACsin2A， 1sinA＝ AC2sinAcosA， ACcosA＝ 2. 例题选讲 例 1 解： (1)cosα＝ 17， α∈  0， π2 ， ∴ sinα＝ 4 37 ， tanα＝ 4 3， tan2α＝－ 8 347 . (2) cosβ＝ cos(α－ (α－ β))＝ cosαcos(α－ β)＋ sinαsin(α－ β)＝ 12， β∈  0， π2 ， ∴ β＝ π3. 例 2 解： (解法 1)在 △ ABC 中， ∵ sinAcosC＝ 3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有 aa2＋ b2－ c22ab ＝ 3b2＋ c2－ a22bc c ，化简并整理得： 2(a2－ c2)＝ b2，又由已知 a2－ c2＝ 2b， ∴ 4b＝ b2，解得 b＝ 4 或 0(舍 )． (解法 2)由余弦定理得： a2－ c2＝ b2－ a2－ c2＝ 2b， b≠ 0. 所以 b＝ 2ccosA＋ 2， ① 又 sinAcosC＝ 3cosAsinC， ∴ sinAcosC＋ cosAsinC＝ 4cosAsinC， sin(A＋ C)＝ 4cosAsinC，即 sinB＝ 4cosAsinC， 由正弦定理得 sinB＝ bcsinC，故 b＝ 4ccosA， ② 由 ①② ，解得 b＝ 4. 变式训练 在 △ ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c. (1) 若 c＝ 2， C＝ π3，且 △ ABC 的面积 S＝ 3，求 a， b 的值； (2) 若 sinC＋ sin(B－ A)＝ sin2A，试判断 △ ABC 的形状． 解： (1) 由余弦定理及已知条件得， a2＋ b2－ ab＝ 4， 又因为 △ ABC 的面积等于 3，所以 12absinC＝ 3，得 ab＝ 4. 联立方程组 a2＋ b2－ ab＝ 4，ab＝ 4， 解得 a＝ 2， b＝ 2. 凤凰出版传媒集团 版权所有 网站地址：南京市湖南路 1 号 B 座 808 室 联系电话： 02583657815 Mail： (2) 由题意得 sinBcosA＝ sinAcosA， 当 cosA＝。