双流体模型的格子玻尔兹曼模拟(编辑修改稿)

双流体模型的格子玻尔兹曼模拟(编辑修改稿)内容摘要：

以下的特性：qσfσ0Dρσ∅σθσξuσ2θσDdξ=qσDρσ∅σθσfσ0ξuσ2θσDdξ =qσDρσ∅σθσDρσ∅σθσDρσ∅σθσ=0 qσfσ0Dρσ∅σθσξuσ2θσDξdξ=0qσfσ0Dρσ∅σθσξuσ2θσDξ∙ξdξ=qσ应用查普曼恩斯科格逐次逼近法可以很容易地推导出流体动力学方程，在零级的时候，fσ=fσ0；Pijσ0=ρσ∅σθσδij，Siσ0=0，然后方程1820变为如下的式子：dρσ∅σdt=ρσ∅σ∂uiσ∂xi ρσ∅σduiσdt=∂ρσ∅σθσ∂xi+ρσ∅σgσ dθσdt=2θσD∂uiσ∂xi+2Dqσρσ∅σ (22)当做一级展开时，用式子fσ=fσ0+fσ1代替方程9中的fσ，并且在方程的左边忽略掉fσ1（这是一个连续性方程从波尔兹曼方程通过微扰展开后得到的一个标准简化），我们得到：fσ1≅τσ∂∂t+ξi∂∂xi+giσ∂∂ξifσ0+τσqσfσ0Dρσ∅σθσc2θσD (23) 为了评估这个派生出的式子，我们发现麦克斯韦方程通过变量∅σ，ρσ，uσ和θσ与t和x关联起来，并且应用了下面的这个式子，这个式子很容易通过方程被证实：∂fσ0∂ρσ∅σ=fσ0ρσ∅σ，∂fσ0∂θσ=c22θσD2fσ0θσ，∂fσ0∂uiσ=cifσ0θσ，∂fσ0∂ξi=cifσ0θσ (24)然后方程23变成：fσ1≅τσfσ0θσθσρσ∅σDρσ∅σ+c22θσD2Dθσ+2Dqσρσ∅σ+ciDuiσgici+τσqσfσ0Dρσ∅σθσc2θσD (25) 此处D=∂∂t+ξi∂∂xi=ddt+ci∂∂xi然后应用第零级的解（方程22）获得Dρσ∅σ=ρσ∅σ∂uiσ∂xi+ci∂ρσ∅σ∂xi，Duiσ=1ρσ∅σ∂θσρσ∅σ∂xi+giα+cj∂uiσ∂xj，Dθσ=2θσD∂uiσ∂xi+ci∂θσ∂xi (26)结合方程25和26，fσ1≅τσfσ0θσc22θσD+22ci∂θσ∂xi+cicjc2Dδij∂uiσ∂xij (27)把这个方程带入方程21中，我们可以得到对压力张量和能量波动通量的一阶校正。 方程27的右边第一项中带c总是奇数，所以此项对压力张量没有影响；右边第二项中带c总是偶数，所以对能量通量没有影响。 运用较早提到的方程式（方程1417），我们可以得到以下的关于压力张量和能量通量的方程：Pijσ1=τσθσ∂ukσ∂xlfσ0ckclc2Dδklcicjdc=2τσρσ∅σθσΛijσδijD∂ujσ∂xi (28)Siσ1=τσθσ∂θσ∂xjfσ0c22θσD+22δklc2cicjdc=D+2τσρσ∅σθσ∂θσ∂xi (29)此处，Λijσ=12∂uiσ∂xj+∂ujσ∂xi将Λijσ带入方程1820，并且重新加上矢量符号，我们得到以下的守恒方程（通常我们用σ=1表示离散相，用σ=2表示连续相）：∂ρd∅d∂t+∇∙ρd∅dud=0 (30)∂ρc∅c∂t+∇∙ρc∅cuc=0 (31)ρd∅d∂ud∂t+ud∙∇ud=∇∙ρd∅dθdI+μd∇ud+∇udT2ID∇∙ud+∅dρdgd (32)ρc∅c∂uc∂t+uc∙∇uc=∇∙∅cπc+∅cρcgc (33)D2ρd∅d∂θd∂t+ud∙∇θd=∇∙Qd+πd:∇ud+qd (34)D2ρc∅c∂θc∂t+uc∙∇θc=∇∙Qc+πc:∇uc+qc (35)此处的πc与方程6中的一样，pc=ρcθc。 μc=ρcτcθc。 μd=ρd∅dτdθd。 Qσ=D+22μσ∇θσ，σ=c,d (36)我们定义gd=g+1∅dρdF+∅d∇∙πc+∇∙∅dρdθdpd+μbd∇∙udI (37)gc=g1∅cρcF+πc∙∇∅c (38)和qc=0。 qd=ΓslipJcollJvis (39)此处F, pd, μbd, Γslip, Jcoll和Jvis（它们的定义详见第二部分）是由用户提供的，正如是在第二部分中强调的那样，将方程3739带入方程3235，我们得到ρd∅d∂ud∂t+ud∙∇ud=∅d∇∙πc+∇∙πd+F+∅dρdg (40) ρc∅c∂uc∂t+uc∙∇uc=∅c∇∙πcF+∅CρCg (41)D2ρd∅d∂θd∂t+ud∙∇θd=∇∙Qd+πd:∇ud+ΓslipJcollJvis (42)D2ρc∅c∂θc∂t+uc∙∇θc=∇∙Qc+πc:∇uc (43)此处的πd正如方程9中的一样，通过将τd表述成∅d（或者其他变量）的函数，我们可以调整离散相的有效粘度使之与第二部分的双流体模型相匹配。 注意到普朗特数Prσ在上述模型中是个常数；所以，尽管这一限制可以通过一些模型上的改进而部分消除，但是我们在本文中并没有对这一点做进一步研究。 对比在这一部分推导出的连续介质模型和第二部分提出的模型，我们很容易可以发现除了连续相的能量波动方程(方程43)外，其他的方程是一致的。 方程43这一方程通过密度，压力和连续相的粘度θc影响了连续性方程和动量方程；然而，变量θc可以是很小的，这样一来方程43就几乎变得不相关了。 从上面的分析中很容易看出，方程9等号右边第二项的引入在本文中是一个关键点，这一项使得方程9变成如同我们所感兴趣的双流体模型的形式。 这一项的形式和qα的表达式使得方程9的低阶矩和双流体模型的质量守恒方程，动量守恒方程还有波动能守恒方程一致。 ．格子波尔兹曼——BGK模型的推导计算机模拟连续波尔兹曼方程的第一步是使之离散化，在这一部分我们从连续性波尔兹曼方程中推出了离散化的波尔兹曼方程，离散化后导致格子玻尔兹曼BGK模型(LBMBGK)适用于规则的网格。 我们从方程9开始，用gσ∙∇ξfσ0对。